Bài toán: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0 (a, b) biết:
a + b = 210 và ƯCLN(a, b) = 30.

Lời giải:

Chúng ta có hai điều kiện quan trọng cho hai số tự nhiên khác 0 là a và b:

1. a + b = 210
2. ƯCLN(a, b) = 30

Bước 1: Sử dụng điều kiện về ƯCLN

Vì ƯCLN(a, b) = 30, điều này có nghĩa là cả a và b đều chia hết cho 30.

Do đó, chúng ta có thể biểu diễn a và b dưới dạng:

a = 30 * x

b = 30 * y

trong đó, x và y là các số tự nhiên khác 0.

Một điều quan trọng cần nhớ là khi chúng ta đã tách thừa số chung lớn nhất ra, thì hai số mới (x và y) phải nguyên tố cùng nhau. Nghĩa là, ƯCLN(x, y) = 1.

Bước 2: Thay thế vào điều kiện về tổng

Bây giờ, chúng ta thay thế biểu thức của a và b vào phương trình đầu tiên: a + b = 210.

\(30x + 30y = 210\)

Bước 3: Rút gọn phương trình

Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 30:

\(30(x + y) = 210\)

\(x + y = \frac{210}{30}\)

\(x + y = 7\)

Bước 4: Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn

Bây giờ, chúng ta cần tìm các cặp số tự nhiên khác 0 (x, y) sao cho:

1. x + y = 7
2. ƯCLN(x, y) = 1 (nguyên tố cùng nhau)

Chúng ta liệt kê các cặp (x, y) có tổng bằng 7, với x và y là số tự nhiên khác 0:

• Nếu x = 1, thì y = 7 – 1 = 6. Cặp (1, 6).
• Nếu x = 2, thì y = 7 – 2 = 5. Cặp (2, 5).
• Nếu x = 3, thì y = 7 – 3 = 4. Cặp (3, 4).
• Nếu x = 4, thì y = 7 – 4 = 3. Cặp (4, 3).
• Nếu x = 5, thì y = 7 – 5 = 2. Cặp (5, 2).
• Nếu x = 6, thì y = 7 – 6 = 1. Cặp (6, 1).

Tiếp theo, chúng ta kiểm tra xem cặp nào trong số này nguyên tố cùng nhau (ƯCLN = 1):

• Cặp (1, 6): ƯCLN(1, 6) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (2, 5): ƯCLN(2, 5) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (3, 4): ƯCLN(3, 4) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (4, 3): ƯCLN(4, 3) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (5, 2): ƯCLN(5, 2) = 1. Thỏa mãn.
• Cặp (6, 1): ƯCLN(6, 1) = 1. Thỏa mãn.

Tất cả các cặp (x, y) chúng ta tìm được đều thỏa mãn điều kiện nguyên tố cùng nhau.

Bước 5: Tìm các cặp số (a, b) tương ứng

Bây giờ, chúng ta sử dụng lại công thức a = 30x và b = 30y để tìm các cặp (a, b):

• Với (x, y) = (1, 6):
  a = 30 * 1 = 30
  b = 30 * 6 = 180
  Cặp (30, 180)
• Với (x, y) = (2, 5):
  a = 30 * 2 = 60
  b = 30 * 5 = 150
  Cặp (60, 150)
• Với (x, y) = (3, 4):
  a = 30 * 3 = 90
  b = 30 * 4 = 120
  Cặp (90, 120)
• Với (x, y) = (4, 3):
  a = 30 * 4 = 120
  b = 30 * 3 = 90
  Cặp (120, 90)
• Với (x, y) = (5, 2):
  a = 30 * 5 = 150
  b = 30 * 2 = 60
  Cặp (150, 60)
• Với (x, y) = (6, 1):
  a = 30 * 6 = 180
  b = 30 * 1 = 30
  Cặp (180, 30)

Bước 6: Kiểm tra lại các cặp (a, b)

Chúng ta hãy kiểm tra lại xem các cặp số này có thỏa mãn cả hai điều kiện ban đầu không:

• Cặp (30, 180): 30 + 180 = 210 (Đúng). ƯCLN(30, 180) = 30 (Đúng).
• Cặp (60, 150): 60 + 150 = 210 (Đúng). ƯCLN(60, 150) = 30 (Đúng).
• Cặp (90, 120): 90 + 120 = 210 (Đúng). ƯCLN(90, 120) = 30 (Đúng).
• Cặp (120, 90): 120 + 90 = 210 (Đúng). ƯCLN(120, 90) = 30 (Đúng).
• Cặp (150, 60): 150 + 60 = 210 (Đúng). ƯCLN(150, 60) = 30 (Đúng).
• Cặp (180, 30): 180 + 30 = 210 (Đúng). ƯCLN(180, 30) = 30 (Đúng).

Vậy, các cặp số tự nhiên khác 0 (a, b) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

(30, 180), (60, 150), (90, 120), (120, 90), (150, 60), (180, 30)

Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo hai điều kiện đã cho và sử dụng tính chất của ƯCLN. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!