Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị và yêu cầu sự lập luận chặt chẽ nhé. Cô sẽ trình bày từng bước một cách chi tiết để các em dễ dàng nắm bắt.

Đề bài: Hai người ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc ,đi ngược chiều và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km .Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc như trong trường hợp trên ,nhưng người đi chậm xuất phát trước người kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đường .Tính vận tốc mỗi người

Trước hết, chúng ta cần phân tích kỹ đề bài để xác định các đại lượng đã biết và các đại lượng cần tìm. Chúng ta có hai trường hợp xảy ra, mỗi trường hợp sẽ cung cấp cho chúng ta một mối liên hệ giữa các vận tốc và thời gian.

Bước 1: Gọi ẩn và đổi đơn vị

Chúng ta cần tìm vận tốc của mỗi người. Vậy, chúng ta sẽ gọi:

• Gọi \( v_A \) là vận tốc của người đi từ A (đơn vị: km/h).
• Gọi \( v_B \) là vận tốc của người đi từ B (đơn vị: km/h).

Đề bài cho thời gian là 6 phút, chúng ta cần đổi ra giờ để thống nhất đơn vị với vận tốc là km/h và quãng đường là km:

\( 6 \text{ phút} = \frac{6}{60} \text{ giờ} = \frac{1}{10} \text{ giờ} \)

Bước 2: Phân tích trường hợp 1 (Hai người khởi hành cùng lúc)

Trong trường hợp đầu tiên:

• Quãng đường AB dài 3,6 km.
• Hai người khởi hành cùng một lúc, đi ngược chiều và gặp nhau tại một điểm cách A là 2 km.

Từ thông tin này, chúng ta có thể suy ra:

• Người đi từ A đã đi được quãng đường \( S_A = 2 \text{ km} \).
• Người đi từ B đã đi được quãng đường \( S_B = 3.6 – 2 = 1.6 \text{ km} \).

Vì hai người khởi hành cùng lúc và gặp nhau cùng lúc, nên thời gian họ đi là như nhau. Gọi thời gian đó là \( t_1 \).

Chúng ta có công thức: thời gian = quãng đường / vận tốc.

• Thời gian người đi từ A đi là: \( t_1 = \frac{S_A}{v_A} = \frac{2}{v_A} \)
• Thời gian người đi từ B đi là: \( t_1 = \frac{S_B}{v_B} = \frac{1.6}{v_B} \)

Vì thời gian đi của hai người là như nhau, ta có phương trình:

(1)     \( \frac{2}{v_A} = \frac{1.6}{v_B} \)

Từ phương trình (1), chúng ta có thể rút gọn để tìm mối quan hệ giữa \( v_A \) và \( v_B \):

\( 2 \cdot v_B = 1.6 \cdot v_A \)

\( v_B = \frac{1.6}{2} \cdot v_A \)

\( v_B = 0.8 \cdot v_A \)

Từ đây, chúng ta thấy \( v_A \) lớn hơn \( v_B \) (vì \( 0.8 < 1 \)). Điều này có nghĩa là người đi từ A là người đi nhanh hơn, và người đi từ B là người đi chậm hơn.

Bước 3: Phân tích trường hợp 2 (Người đi chậm xuất phát trước 6 phút)

Trong trường hợp thứ hai:

• Cả hai vẫn giữ nguyên vận tốc \( v_A \) và \( v_B \) đã tìm ở trên.
• Người đi chậm (người từ B) xuất phát trước người đi nhanh (người từ A) là 6 phút (\( \frac{1}{10} \) giờ).
• Họ gặp nhau ở chính giữa quãng đường AB.

Quãng đường AB là 3,6 km. Điểm chính giữa quãng đường cách A là \( \frac{3.6}{2} = 1.8 \text{ km} \). Tương tự, nó cũng cách B là 1.8 km.

Gọi thời gian người đi từ A đi cho đến khi gặp nhau là \( t_2 \).

• Người đi từ A đi được quãng đường 1.8 km với vận tốc \( v_A \).
• Thời gian người đi từ A đi là: \( t_2 = \frac{1.8}{v_A} \)

Vì người đi từ B (người đi chậm) xuất phát trước 6 phút (\( \frac{1}{10} \) giờ), nên thời gian người đi từ B đi cho đến khi gặp nhau sẽ là \( t_2 + \frac{1}{10} \).

• Người đi từ B cũng đi được quãng đường 1.8 km với vận tốc \( v_B \).
• Thời gian người đi từ B đi là: \( t_2 + \frac{1}{10} = \frac{1.8}{v_B} \)

Vậy, chúng ta có phương trình thứ hai:

(2)     \( \frac{1.8}{v_B} = \frac{1.8}{v_A} + \frac{1}{10} \)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ hai phương trình:

(1) \( v_B = 0.8 v_A \)

(2) \( \frac{1.8}{v_B} = \frac{1.8}{v_A} + \frac{1}{10} \)

Chúng ta sẽ thay \( v_B = 0.8 v_A \) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\( \frac{1.8}{0.8v_A} = \frac{1.8}{v_A} + \frac{1}{10} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải phương trình này để tìm \( v_A \).

Đầu tiên, chúng ta có thể rút gọn vế trái:

\( \frac{1.8}{0.8v_A} = \frac{18}{8v_A} = \frac{9}{4v_A} \)

Thay vào phương trình:

\( \frac{9}{4v_A} = \frac{1.8}{v_A} + \frac{1}{10} \)

Để loại bỏ mẫu số, chúng ta tìm bội chung nhỏ nhất của các mẫu số \( 4v_A \), \( v_A \) và \( 10 \), đó là \( 40v_A \). Nhân cả hai vế của phương trình với \( 40v_A \) (Lưu ý: \( v_A \ne 0 \), vì vận tốc phải khác 0).

\( 40v_A \cdot \left( \frac{9}{4v_A} \right) = 40v_A \cdot \left( \frac{1.8}{v_A} \right) + 40v_A \cdot \left( \frac{1}{10} \right) \)

Thực hiện phép nhân và rút gọn:

\( 10 \cdot 9 = 40 \cdot 1.8 + 4v_A \)

\( 90 = 72 + 4v_A \)

Bây giờ, chúng ta chuyển các số hạng không chứa \( v_A \) sang một vế và số hạng chứa \( v_A \) sang vế còn lại:

\( 4v_A = 90 – 72 \)

\( 4v_A = 18 \)

Chia cả hai vế cho 4 để tìm \( v_A \):

\( v_A = \frac{18}{4} \)

\( v_A = 4.5 \text{ km/h} \)

Sau khi tìm được \( v_A \), chúng ta sẽ thay giá trị của \( v_A \) vào phương trình (1) để tìm \( v_B \):

\( v_B = 0.8 \cdot v_A \)

\( v_B = 0.8 \cdot 4.5 \)

\( v_B = 3.6 \text{ km/h} \)

Bước 5: Kiểm tra lại (không bắt buộc nhưng rất nên làm)

Kiểm tra với trường hợp 1:

• Thời gian người A đi 2 km: \( t_A = \frac{2}{4.5} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9} \text{ giờ} \)
• Thời gian người B đi 1.6 km: \( t_B = \frac{1.6}{3.6} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \text{ giờ} \)
• Hai thời gian này bằng nhau, khớp với trường hợp 1.

Kiểm tra với trường hợp 2:

• Họ gặp nhau ở chính giữa (1.8 km từ A hoặc B).
• Thời gian người A đi 1.8 km: \( t_{A’} = \frac{1.8}{4.5} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} \text{ giờ} \)
• Thời gian người B đi 1.8 km: \( t_{B’} = \frac{1.8}{3.6} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} \text{ giờ} \)
• Chênh lệch thời gian: \( t_{B’} – t_{A’} = \frac{1}{2} – \frac{2}{5} = \frac{5}{10} – \frac{4}{10} = \frac{1}{10} \text{ giờ} \)
• \( \frac{1}{10} \text{ giờ} = 6 \text{ phút} \). Điều này khớp với việc người đi chậm (B) xuất phát trước 6 phút.

Kết quả hoàn toàn chính xác!

Kết luận:

Vậy, vận tốc của người đi từ A là \( 4.5 \text{ km/h} \).

Vận tốc của người đi từ B là \( 3.6 \text{ km/h} \).