Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải các bài toán tìm tham số \(m\) để các phương trình lượng giác có nghiệm. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng, giúp các em hiểu sâu hơn về tập giá trị của hàm số lượng giác.

Chúng ta sẽ đi lần lượt từng câu một nhé.

Câu 1: Tìm \(m\) để phương trình \(5\sin(3x+1) = m-1\) có nghiệm.

Để phương trình này có nghiệm, chúng ta cần xem xét điều kiện về tập giá trị của hàm số \(\sin\).
Chúng ta đều biết rằng, với mọi góc \(u\), ta luôn có \(-1 \le \sin(u) \le 1\).
Trong phương trình của chúng ta, ta có \(\sin(3x+1)\). Do đó, ta có:

\(-1 \le \sin(3x+1) \le 1\)

Bây giờ, chúng ta nhân cả hai vế của bất đẳng thức này với 5:

\(5 \times (-1) \le 5\sin(3x+1) \le 5 \times 1\)

\(-5 \le 5\sin(3x+1) \le 5\)

Vế phải của phương trình là \(m-1\). Để phương trình có nghiệm, giá trị của \(m-1\) phải nằm trong khoảng giá trị mà \(5\sin(3x+1)\) có thể nhận. Hay nói cách khác, \(m-1\) phải thỏa mãn bất đẳng thức:

\(-5 \le m-1 \le 5\)

Bây giờ, chúng ta sẽ giải bất đẳng thức này để tìm \(m\). Chúng ta cộng 1 vào cả ba vế của bất đẳng thức:

\(-5 + 1 \le (m-1) + 1 \le 5 + 1\)

\(-4 \le m \le 6\)

Vậy, với \(-4 \le m \le 6\), phương trình đã cho sẽ có nghiệm.

Câu 2: Tìm \(m\) để phương trình \(\sin(3x – 30^{\circ}) = 4-m\) có nghiệm.

Tương tự như câu 1, chúng ta sẽ sử dụng tập giá trị của hàm số \(\sin\).
Ta có:

\(-1 \le \sin(3x – 30^{\circ}) \le 1\)

Vế phải của phương trình là \(4-m\). Để phương trình có nghiệm, giá trị của \(4-m\) phải nằm trong khoảng giá trị mà \(\sin(3x – 30^{\circ})\) có thể nhận. Do đó, ta có bất đẳng thức:

\(-1 \le 4-m \le 1\)

Bây giờ, chúng ta giải bất đẳng thức này để tìm \(m\). Đầu tiên, ta trừ 4 khỏi cả ba vế:

\(-1 – 4 \le (4-m) – 4 \le 1 – 4\)

\(-5 \le -m \le -3\)

Tiếp theo, chúng ta nhân cả ba vế của bất đẳng thức với -1. Lưu ý rằng khi nhân hoặc chia một bất đẳng thức với một số âm, chiều của bất đẳng thức sẽ bị đảo ngược.

\(-5 \times (-1) \ge -m \times (-1) \ge -3 \times (-1)\)

\(5 \ge m \ge 3\)

Viết lại theo thứ tự tăng dần, ta có:

\(3 \le m \le 5\)

Vậy, với \(3 \le m \le 5\), phương trình đã cho sẽ có nghiệm.

Câu 3: Tìm \(m\) để phương trình \(m \cdot \sin x = 2m+1\) có nghiệm.

Đối với câu này, chúng ta cần chia thành hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(m = 0\)

Nếu \(m=0\), phương trình trở thành:

\(0 \cdot \sin x = 2(0) + 1\)

\(0 = 1\)

Phương trình này vô lý, do đó \(m=0\) không phải là giá trị cần tìm.

Trường hợp 2: \(m \ne 0\)

Nếu \(m \ne 0\), chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho \(m\) để rút gọn:

\(\sin x = \frac{2m+1}{m}\)

\(\sin x = 2 + \frac{1}{m}\)

Tương tự như hai câu trên, để phương trình này có nghiệm, giá trị của \(\sin x\) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\).

Do đó, ta có bất đẳng thức:

\(-1 \le 2 + \frac{1}{m} \le 1\)

Chúng ta sẽ giải bất đẳng thức này. Trừ 2 khỏi cả ba vế:

\(-1 – 2 \le (2 + \frac{1}{m}) – 2 \le 1 – 2\)

\(-3 \le \frac{1}{m} \le -1\)

Bây giờ, chúng ta cần xét hai trường hợp cho \(m\): \(m > 0\) và \(m < 0\).

Trường hợp 2.1: \(m > 0\)

Nếu \(m > 0\), thì \(\frac{1}{m} > 0\).
Trong trường hợp này, ta có \(\frac{1}{m} \le -1\). Vì \(\frac{1}{m}\) luôn dương khi \(m > 0\), nên không có giá trị \(m > 0\) nào thỏa mãn \(\frac{1}{m} \le -1\).
Do đó, không có nghiệm trong trường hợp này.

Trường hợp 2.2: \(m < 0\)

Nếu \(m < 0\), thì \(\frac{1}{m} < 0\). Ta có bất đẳng thức: \(-3 \le \frac{1}{m} \le -1\). Vì \(m < 0\), khi nhân cả ba vế của bất đẳng thức với \(m\), chiều của bất đẳng thức sẽ đảo ngược.

\(-3m \ge 1 \ge -m\)

Chúng ta có hai bất đẳng thức nhỏ hơn:

1. \(-3m \ge 1\)
Chia cả hai vế cho -3 (và đảo chiều bất đẳng thức):
\(m \le \frac{1}{-3}\)
\(m \le -\frac{1}{3}\)

2. \(1 \ge -m\)
Nhân cả hai vế với -1 (và đảo chiều bất đẳng thức):
\(-1 \le m\)
\(m \ge -1\)

Kết hợp cả hai điều kiện cho \(m\) từ trường hợp 2.2, ta có:

\(-1 \le m \le -\frac{1}{3}\)

Và chúng ta cũng phải nhớ rằng \(m \ne 0\), điều này đã được thỏa mãn trong khoảng này.

Tổng hợp lại, phương trình \(m \cdot \sin x = 2m+1\) có nghiệm khi \(m\) thỏa mãn điều kiện \(-1 \le m \le -\frac{1}{3}\).

Các em hãy xem lại kỹ các bước giải và nhớ nắm vững cách sử dụng tập giá trị của hàm số lượng giác để giải các bài toán tương tự nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy.