Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) và giá trị lớn nhất (GTLN) của các biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, thường sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương. Với phương pháp này, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một bình phương và một hằng số. Vì bình phương của một số luôn không âm \( (A^2 \geq 0) \), chúng ta có thể dễ dàng suy ra GTNN hoặc GTLN của biểu thức.

Chúng ta sẽ xét từng biểu thức một nhé!

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \( A = 3x^2 – 18x + 2 \)

Để tìm GTNN hoặc GTLN của biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương. Hãy quan sát hệ số của \( x^2 \). Ở đây, hệ số là \( 3 \) (dương). Một parabol có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \) sẽ có nhánh hướng lên trên, nên nó sẽ có giá trị nhỏ nhất nhưng không có giá trị lớn nhất (vì nó có thể tăng vô hạn).

Ta có:

\( A = 3x^2 – 18x + 2 \)

Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \( x \) và đặt hệ số của \( x^2 \) ra ngoài làm thừa số chung.

\( A = 3(x^2 – 6x) + 2 \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương trong ngoặc. Nhớ lại hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \). Ở đây, ta có \( x^2 – 6x \). Ta cần tìm một số để thêm vào thành \( x^2 – 6x + ? \). Số đó chính là \( (6/2)^2 = 3^2 = 9 \). Tuy nhiên, để biểu thức không thay đổi giá trị, chúng ta phải vừa thêm vào, vừa bớt đi số đó.

\( A = 3(x^2 – 6x + 9 – 9) + 2 \)

\( A = 3((x-3)^2 – 9) + 2 \)

Bước 3: Phá ngoặc và rút gọn biểu thức.

\( A = 3(x-3)^2 – 3 \times 9 + 2 \)

\( A = 3(x-3)^2 – 27 + 2 \)

\( A = 3(x-3)^2 – 25 \)

Bước 4: Đánh giá giá trị của biểu thức.

Vì \( (x-3)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị thực của \( x \) (bình phương của một số luôn không âm),

Nên \( 3(x-3)^2 \geq 0 \)

Do đó, \( 3(x-3)^2 – 25 \geq -25 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( (x-3)^2 = 0 \), tức là \( x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là \( -25 \), khi \( x = 3 \).

Biểu thức A không có giá trị lớn nhất.

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \( B = 2x – x^2 + 5 \)

Với biểu thức này, đầu tiên chúng ta nên sắp xếp lại theo lũy thừa giảm dần của \( x \):

\( B = -x^2 + 2x + 5 \)

Quan sát hệ số của \( x^2 \). Ở đây, hệ số là \( -1 \) (âm). Một parabol có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a < 0 \) sẽ có nhánh hướng xuống dưới, nên nó sẽ có giá trị lớn nhất nhưng không có giá trị nhỏ nhất (vì nó có thể giảm vô hạn).

Ta có:

\( B = -x^2 + 2x + 5 \)

Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \( x \) và đặt hệ số của \( x^2 \) ra ngoài làm thừa số chung.

\( B = -(x^2 – 2x) + 5 \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương trong ngoặc. Ta có \( x^2 – 2x \). Số cần thêm vào để tạo thành bình phương là \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \). Vừa thêm vừa bớt.

\( B = -(x^2 – 2x + 1 – 1) + 5 \)

\( B = -((x-1)^2 – 1) + 5 \)

Bước 3: Phá ngoặc và rút gọn biểu thức. Lưu ý dấu trừ phía trước ngoặc vuông, nó sẽ làm thay đổi dấu của các số hạng bên trong.

\( B = -(x-1)^2 – (-1) + 5 \)

\( B = -(x-1)^2 + 1 + 5 \)

\( B = -(x-1)^2 + 6 \)

Bước 4: Đánh giá giá trị của biểu thức.

Vì \( (x-1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị thực của \( x \),

Nên \( -(x-1)^2 \leq 0 \) (nhân cả hai vế với -1 và đổi chiều bất đẳng thức)

Do đó, \( -(x-1)^2 + 6 \leq 6 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( (x-1)^2 = 0 \), tức là \( x-1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \( B \) là \( 6 \), khi \( x = 1 \).

Biểu thức B không có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức \( C = x^2 + y^2 – 6x + 2y + 2025 \)

Biểu thức này có hai biến \( x \) và \( y \). Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp hoàn thành bình phương cho từng biến một cách riêng rẽ. Vì các hạng tử \( x^2 \) và \( y^2 \) đều có hệ số dương (là 1), nên biểu thức này sẽ có giá trị nhỏ nhất nhưng không có giá trị lớn nhất.

Ta có:

\( C = x^2 + y^2 – 6x + 2y + 2025 \)

Bước 1: Nhóm các hạng tử chứa \( x \) lại với nhau và các hạng tử chứa \( y \) lại với nhau.

\( C = (x^2 – 6x) + (y^2 + 2y) + 2025 \)

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho từng nhóm.

• Đối với nhóm \( x^2 – 6x \): Để thành bình phương \( (x-a)^2 \), ta cần thêm \( (6/2)^2 = 3^2 = 9 \).

\( x^2 – 6x = (x^2 – 6x + 9) – 9 = (x-3)^2 – 9 \)

• Đối với nhóm \( y^2 + 2y \): Để thành bình phương \( (y+b)^2 \), ta cần thêm \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).

\( y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) – 1 = (y+1)^2 – 1 \)

Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào biểu thức C ban đầu và rút gọn.

\( C = ((x-3)^2 – 9) + ((y+1)^2 – 1) + 2025 \)

\( C = (x-3)^2 + (y+1)^2 – 9 – 1 + 2025 \)

\( C = (x-3)^2 + (y+1)^2 + 2015 \)

Bước 4: Đánh giá giá trị của biểu thức.

Vì \( (x-3)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị thực của \( x \),

Và \( (y+1)^2 \geq 0 \) với mọi giá trị thực của \( y \),

Nên tổng của hai bình phương này cũng không âm: \( (x-3)^2 + (y+1)^2 \geq 0 \)

Do đó, \( (x-3)^2 + (y+1)^2 + 2015 \geq 2015 \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0:

\( (x-3)^2 = 0 \Rightarrow x-3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Và \( (y+1)^2 = 0 \Rightarrow y+1 = 0 \Rightarrow y = -1 \)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( C \) là \( 2015 \), khi \( x = 3 \) và \( y = -1 \).

Biểu thức C không có giá trị lớn nhất.

Thầy hy vọng qua các ví dụ trên, các em đã nắm vững phương pháp tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất bằng cách hoàn thành bình phương. Đây là một kỹ thuật rất hữu ích không chỉ trong đại số mà còn trong nhiều lĩnh vực toán học khác. Hãy luyện tập thêm để thành thạo nhé!