Chào các em học sinh lớp 8!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đây là một dạng bài rất quan trọng và thường gặp, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài yêu cầu chúng ta giải hệ phương trình sau:

\[ \begin{cases} 10x + 7y = 17800 \quad (1)\\12x+6y=18000 \quad (2) \end{cases} \]

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số (hay còn gọi là phương pháp khử) để giải hệ này. Mục tiêu của phương pháp này là biến đổi các phương trình sao cho khi cộng hoặc trừ chúng với nhau, một trong hai ẩn số \(x\) hoặc \(y\) sẽ bị triệt tiêu.

Bước 1: Quyết định ẩn số cần khử.

Chúng ta nhìn vào các hệ số của \(x\) (là 10 và 12) và \(y\) (là 7 và 6).

• Để khử \(x\): Bội chung nhỏ nhất của 10 và 12 là 60. Chúng ta sẽ cần nhân phương trình (1) với 6 và phương trình (2) với 5.
• Để khử \(y\): Bội chung nhỏ nhất của 7 và 6 là 42. Chúng ta sẽ cần nhân phương trình (1) với 6 và phương trình (2) với 7.

Thầy thấy việc khử \(y\) có vẻ sẽ dẫn đến các số nhỏ hơn một chút khi nhân, nên chúng ta sẽ chọn khử ẩn \(y\) nhé.

Bước 2: Biến đổi các phương trình để hệ số của ẩn \(y\) trở thành các số đối nhau.

Để hệ số của \(y\) trong phương trình (1) là \(42\), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(6\):

\( 6 \times (10x + 7y) = 6 \times 17800 \)
\( 60x + 42y = 106800 \quad (3) \)

Để hệ số của \(y\) trong phương trình (2) là \(-42\), chúng ta sẽ nhân cả hai vế của phương trình (2) với \(-7\):

\( -7 \times (12x + 6y) = -7 \times 18000 \)
\( -84x – 42y = -126000 \quad (4) \)

Bước 3: Cộng hai phương trình mới lại với nhau.

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng phương trình (3) và phương trình (4) theo từng vế:

\( (60x + 42y) + (-84x – 42y) = 106800 + (-126000) \)

Mở ngoặc và nhóm các số hạng tương tự:

\( 60x + 42y – 84x – 42y = 106800 – 126000 \)
\( (60x – 84x) + (42y – 42y) = -19200 \)
\( -24x + 0y = -19200 \)
\( -24x = -19200 \)

Bước 4: Giải phương trình tìm \(x\).

Từ phương trình \( -24x = -19200 \), chúng ta tìm \(x\) bằng cách chia cả hai vế cho \(-24\):

\( x = \frac{-19200}{-24} \)
\( x = 800 \)

Bước 5: Thay giá trị của \(x\) vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(y\).

Thầy sẽ chọn phương trình (1) vì các hệ số có vẻ nhỏ hơn một chút, dễ tính toán hơn:

\( 10x + 7y = 17800 \)

Thay \(x = 800\) vào phương trình này:

\( 10 \times 800 + 7y = 17800 \)
\( 8000 + 7y = 17800 \)

Chuyển số hạng không chứa \(y\) sang vế phải:

\( 7y = 17800 – 8000 \)
\( 7y = 9800 \)

Chia cả hai vế cho 7 để tìm \(y\):

\( y = \frac{9800}{7} \)
\( y = 1400 \)

Bước 6: Kết luận.

Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là cặp số \((x; y) = (800; 1400)\).

Kiểm tra lại (Bước này rất quan trọng để đảm bảo kết quả chính xác, các em nên làm quen nhé!):

Chúng ta sẽ thay \(x = 800\) và \(y = 1400\) vào cả hai phương trình ban đầu để xem chúng có thỏa mãn không.

Với phương trình (1): \(10x + 7y = 17800\)

Thay \(x = 800\) và \(y = 1400\) vào vế trái:

\( 10 \times 800 + 7 \times 1400 \)
\( = 8000 + 9800 \)
\( = 17800 \)

Kết quả này đúng bằng vế phải của phương trình (1). Vậy nghiệm thỏa mãn phương trình (1).

Với phương trình (2): \(12x + 6y = 18000\)

Thay \(x = 800\) và \(y = 1400\) vào vế trái:

\( 12 \times 800 + 6 \times 1400 \)
\( = 9600 + 8400 \)
\( = 18000 \)

Kết quả này đúng bằng vế phải của phương trình (2). Vậy nghiệm thỏa mãn cả hai phương trình.

Tuyệt vời! Nghiệm của chúng ta hoàn toàn chính xác.

Các em nhớ luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững phương pháp giải hệ phương trình này nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!