Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán “tính hợp lí” rất thú vị nhé. Đây là dạng bài tập thường gặp và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về tổng các phân số theo quy luật (hay còn gọi là tổng dãy số kiểu “telescoping sum”). Các em hãy chú ý theo dõi thầy/cô hướng dẫn chi tiết từng bước nhé!

Bài giải:

a) Tính hợp lí: \(A= \frac{1}{3.7} + \frac{1}{7.11} + \frac{1}{11.15} + … + \frac{1}{23.27}\)

Để giải bài toán này, chúng ta nhớ lại công thức quen thuộc:
\(\frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+k} \right)\)

Quan sát các số hạng trong tổng A, ta thấy mẫu số của mỗi phân số là tích của hai số hơn kém nhau 4 đơn vị (ví dụ: 7 – 3 = 4, 11 – 7 = 4, …). Vậy ở đây, \(k = 4\).

Áp dụng công thức trên cho từng số hạng, ta được:

\(\frac{1}{3.7} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{7} \right)\)

\(\frac{1}{7.11} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{11} \right)\)

\(\frac{1}{11.15} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{11} – \frac{1}{15} \right)\)

…
\(\frac{1}{23.27} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{23} – \frac{1}{27} \right)\)

Bây giờ chúng ta sẽ viết lại tổng A:

\(A = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{11} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{11} – \frac{1}{15} \right) + … + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{23} – \frac{1}{27} \right)\)

Ta thấy tất cả các số hạng đều có thừa số \(\frac{1}{4}\). Chúng ta có thể đặt \(\frac{1}{4}\) ra ngoài làm thừa số chung:

\(A = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} – \frac{1}{15} \right) + … + \left( \frac{1}{23} – \frac{1}{27} \right) \right]\)

Quan sát kỹ tổng trong dấu ngoặc vuông, các em sẽ thấy một điều đặc biệt: các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau (ví dụ: \(\left(-\frac{1}{7}\right)\) và \(\left(+\frac{1}{7}\right)\) triệt tiêu, \(\left(-\frac{1}{11}\right)\) và \(\left(+\frac{1}{11}\right)\) triệt tiêu, cứ thế cho đến hết).

Vậy tổng trong dấu ngoặc vuông sẽ chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\(A = \frac{1}{4} \left[ \frac{1}{3} – \frac{1}{27} \right]\)

Bây giờ chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ trong ngoặc vuông:

\(\frac{1}{3} – \frac{1}{27} = \frac{9}{27} – \frac{1}{27} = \frac{8}{27}\)

Cuối cùng, ta nhân kết quả này với \(\frac{1}{4}\):

\(A = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{27}\)

\(A = \frac{8}{4 \cdot 27}\)

\(A = \frac{2}{27}\)

Vậy, giá trị của A là \(\frac{2}{27}\).

b) Tính hợp lí: \(\frac{1}{100} – \frac{1}{100.99} – \frac{1}{99.98} – … – \frac{1}{3.2} – \frac{1}{2.1}\)

Bài toán này có vẻ hơi “lạ” một chút vì các dấu trừ liên tiếp. Chúng ta sẽ viết lại biểu thức này để dễ tính toán hơn nhé.

Gọi biểu thức cần tính là B. Ta có:

\(B = \frac{1}{100} – \left( \frac{1}{100.99} + \frac{1}{99.98} + … + \frac{1}{3.2} + \frac{1}{2.1} \right)\)

Chúng ta hãy tập trung tính tổng trong dấu ngoặc đơn trước. Để dễ nhìn hơn, thầy/cô sẽ viết lại tổng này theo thứ tự tăng dần của các thừa số ở mẫu số:

Gọi \(S = \frac{1}{2.1} + \frac{1}{3.2} + … + \frac{1}{99.98} + \frac{1}{100.99}\)

Các em có thể viết lại mỗi số hạng dưới dạng \(\frac{1}{1.2}\), \(\frac{1}{2.3}\), … để thấy rõ quy luật.

Ta lại nhớ đến công thức: \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\). Ở đây, khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu là 1, tức là \(k=1\).

Áp dụng công thức này cho từng số hạng của S:

\(\frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2}\)

\(\frac{1}{2.3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3}\)

…
\(\frac{1}{98.99} = \frac{1}{98} – \frac{1}{99}\)

\(\frac{1}{99.100} = \frac{1}{99} – \frac{1}{100}\)

Bây giờ, chúng ta viết lại tổng S:

\(S = \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + … + \left( \frac{1}{98} – \frac{1}{99} \right) + \left( \frac{1}{99} – \frac{1}{100} \right)\)

Tương tự như bài a), các số hạng ở giữa sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau:

\(S = \frac{1}{1} – \frac{1}{100}\)

\(S = 1 – \frac{1}{100}\)

\(S = \frac{100}{100} – \frac{1}{100}\)

\(S = \frac{99}{100}\)

Sau khi đã tính được tổng S, chúng ta thay S vào biểu thức B ban đầu:

\(B = \frac{1}{100} – S\)

\(B = \frac{1}{100} – \frac{99}{100}\)

\(B = \frac{1 – 99}{100}\)

\(B = \frac{-98}{100}\)

Chúng ta rút gọn phân số này:

\(B = \frac{-98 \div 2}{100 \div 2}\)

\(B = \frac{-49}{50}\)

Vậy, giá trị của biểu thức là \(\frac{-49}{50}\).

Thầy/cô mong rằng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách tính tổng các phân số có quy luật nhé. Hãy ghi nhớ các công thức và cách biến đổi để áp dụng vào các bài toán tương tự nha! Chúc các em học tốt!