Bài 1.
Tính nhanh:
`A = 1/(2² – 1) + 1/(3² – 1) + 1/(4² – 1) + … + 1/(20² – 1…
Tính nhanh:
\(A = 1/(2² – 1) + 1/(3² – 1) + 1/(4² – 1) + … + 1/(20² – 1)\)
Bài 2.
Cho:
A = 3x² – 2xy + y²
a) Tính giá trị của A khi x = -2, y = 3.
b) Tìm x biết:
3x² – 2x + 1 = 2x² + 5x + 7
Bài 3.
Một đội công nhân dự định làm một con đường trong 15 ngày. Sau khi làm được 5 ngày, đội tăng năng suất thêm 20% nên đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định.
Hỏi đội hoàn thành con đường trước bao nhiêu ngày?
Bài 1.
Chúng ta cần tính nhanh tổng sau:
\(A = 1/(2² – 1) + 1/(3² – 1) + 1/(4² – 1) + … + 1/(20² – 1)\)
Để tính nhanh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích mẫu số.
Nhận thấy mẫu số của mỗi phân số có dạng \(n² – 1\). Chúng ta có thể áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a² – b² = (a – b)(a + b)\).
Vậy, \(n² – 1 = (n – 1)(n + 1)\).
Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại các phân số trong tổng A:
\(1/(2² – 1) = 1/((2 – 1)(2 + 1)) = 1/(1 * 3)\)
\(1/(3² – 1) = 1/((3 – 1)(3 + 1)) = 1/(2 * 4)\)
\(1/(4² – 1) = 1/((4 – 1)(4 + 1)) = 1/(3 * 5)\)
…
\(1/(20² – 1) = 1/((20 – 1)(20 + 1)) = 1/(19 * 21)\)
Tổng A bây giờ trở thành:
\(A = 1/(1 3) + 1/(2 4) + 1/(3 5) + … + 1/(19 21)\)
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách phân số (khai triển telescopy).
Ta có công thức tổng quát: \(1/((n-1)(n+1))\).
Chúng ta có thể viết: \(1/((n-1)(n+1)) = 1/2 [2/((n-1)(n+1))] = 1/2 [(n+1 – (n-1))/((n-1)(n+1))] = 1/2 * [ (n+1)/((n-1)(n+1)) – (n-1)/((n-1)(n+1)) ]\)
\( = 1/2 * [ 1/(n-1) – 1/(n+1) ]\)
Áp dụng công thức này cho từng phân số trong tổng A:
\(1/(1 3) = 1/2 (1/1 – 1/3)\)
\(1/(2 4) = 1/2 (1/2 – 1/4)\)
\(1/(3 5) = 1/2 (1/3 – 1/5)\)
\(1/(4 6) = 1/2 (1/4 – 1/6)\)
…
\(1/(19 21) = 1/2 (1/19 – 1/21)\)
Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các phân số lại:
\(A = 1/2 (1/1 – 1/3) + 1/2 (1/2 – 1/4) + 1/2 (1/3 – 1/5) + 1/2 (1/4 – 1/6) + … + 1/2 * (1/19 – 1/21)\)
Chúng ta có thể đặt \(1/2\) ra ngoài dấu ngoặc:
\(A = 1/2 * [(1/1 – 1/3) + (1/2 – 1/4) + (1/3 – 1/5) + (1/4 – 1/6) + … + (1/19 – 1/21)]\)
Quan sát phần trong ngoặc vuông, chúng ta thấy các số hạng đối nhau sẽ triệt tiêu:
\(-1/3\) triệt tiêu với \(+1/3\)
\(-1/4\) triệt tiêu với \(+1/4\)
\(-1/5\) triệt tiêu với \(+1/5\) (nếu có)
…
Và cứ thế tiếp tục. Các số hạng còn lại sẽ là:
\(A = 1/2 * [1/1 + 1/2 – 1/20 – 1/21]\)
Tính toán trong ngoặc:
\(1/1 + 1/2 = 3/2\)
\(1/20 + 1/21 = (21 + 20) / (20 * 21) = 41/420\)
Vậy, \(A = 1/2 * [3/2 – 41/420]\)
Quy đồng mẫu số trong ngoặc:
\(3/2 = (3 210) / (2 210) = 630/420\)
\(A = 1/2 * [630/420 – 41/420]\)
\(A = 1/2 * [(630 – 41) / 420]\)
\(A = 1/2 * [589 / 420]\)
\(A = 589 / (2 * 420)\)
\(A = 589 / 840\)
Vậy, kết quả của bài toán là \(A = 589/840\).
Bài 2.
Cho biểu thức:
A = 3x² – 2xy + y²
a) Tính giá trị của A khi x = -2, y = 3.
Để tính giá trị của biểu thức A, chúng ta sẽ thay trực tiếp giá trị của x và y vào biểu thức.
Thay x = -2 và y = 3 vào biểu thức A:
\(A = 3*(-2)² – 2*(-2)*(3) + (3)²\)
Tính toán lũy thừa trước:
\((-2)² = 4\)
\((3)² = 9\)
Thay vào biểu thức:
\(A = 3*(4) – 2*(-2)*(3) + 9\)
Thực hiện phép nhân:
\(3*(4) = 12\)
\(-2*(-2)(3) = 4(3) = 12\)
Thay kết quả phép nhân vào biểu thức:
\(A = 12 + 12 + 9\)
Thực hiện phép cộng:
\(A = 24 + 9\)
\(A = 33\)
Vậy, giá trị của biểu thức A khi x = -2 và y = 3 là 33.
b) Tìm x biết:
3x² – 2x + 1 = 2x² + 5x + 7
Đây là một phương trình bậc hai. Để tìm x, chúng ta cần đưa tất cả các hạng tử về một vế để phương trình có dạng \(ax² + bx + c = 0\).
Chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái, đổi dấu các hạng tử khi chuyển vế:
\(3x² – 2x + 1 – 2x² – 5x – 7 = 0\)
Nhóm các hạng tử cùng bậc lại với nhau:
\((3x² – 2x²) + (-2x – 5x) + (1 – 7) = 0\)
Thực hiện phép tính trong từng nhóm:
\(x² + (-7x) + (-6) = 0\)
\(x² – 7x – 6 = 0\)
Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax² + bx + c = 0\), với \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -6\).
Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a\).
Tính biệt thức Delta: \(Δ = b² – 4ac\)
\(Δ = (-7)² – 4*(1)*(-6)\)
\(Δ = 49 – (-24)\)
\(Δ = 49 + 24\)
\(Δ = 73\)
Vì \(Δ > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x1 = [-b + √Δ] / 2a\)
\(x1 = [-(-7) + √73] / (2 * 1)\)
\(x1 = [7 + √73] / 2\)
\(x2 = [-b – √Δ] / 2a\)
\(x2 = [-(-7) – √73] / (2 * 1)\)
\(x2 = [7 – √73] / 2\)
Vậy, các giá trị của x là \(x = (7 + √73)/2\) và \(x = (7 – √73)/2\).
Bài 3.
Một đội công nhân dự định làm một con đường trong 15 ngày. Sau khi làm được 5 ngày, đội tăng năng suất thêm 20% nên đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định.
Hỏi đội hoàn thành con đường trước bao nhiêu ngày?.
Đây là bài toán về năng suất và thời gian hoàn thành công việc.
Bước 1: Xác định khối lượng công việc.
Giả sử tổng khối lượng công việc cần hoàn thành là 1 đơn vị.
Năng suất dự định của đội là: 1 (công việc) / 15 (ngày) = 1/15 (công việc/ngày).
Bước 2: Tính khối lượng công việc đã hoàn thành trong 5 ngày đầu.
Trong 5 ngày đầu, đội làm việc với năng suất dự định.
Khối lượng công việc đã hoàn thành = Năng suất dự định * Số ngày làm việc
Khối lượng công việc đã hoàn thành = (1/15) * 5 = 5/15 = 1/3 (công việc).
Bước 3: Tính khối lượng công việc còn lại.
Khối lượng công việc còn lại = Tổng khối lượng công việc – Khối lượng công việc đã hoàn thành
Khối lượng công việc còn lại = 1 – 1/3 = 2/3 (công việc).
Bước 4: Tính năng suất mới của đội.
Đội tăng năng suất thêm 20%.
Năng suất mới = Năng suất dự định + 20% * Năng suất dự định
Năng suất mới = Năng suất dự định * (1 + 20%)
Năng suất mới = Năng suất dự định * 1.20
Năng suất mới = (1/15) * 1.20 = 1.2 / 15 = 12 / 150 = 2 / 25 (công việc/ngày).
Bước 5: Tính thời gian đội cần để hoàn thành công việc còn lại với năng suất mới.
Thời gian hoàn thành công việc còn lại = Khối lượng công việc còn lại / Năng suất mới
Thời gian hoàn thành công việc còn lại = (2/3) / (2/25)
Thời gian hoàn thành công việc còn lại = (2/3) * (25/2)
Thời gian hoàn thành công việc còn lại = 25/3 (ngày).
Bước 6: Tính tổng số ngày thực tế để hoàn thành công việc.
Tổng số ngày thực tế = Số ngày đã làm + Thời gian hoàn thành công việc còn lại
Tổng số ngày thực tế = 5 ngày + 25/3 ngày
Để cộng hai số này, ta quy đồng mẫu số:
5 ngày = 15/3 ngày
Tổng số ngày thực tế = 15/3 + 25/3 = 40/3 (ngày).
Bước 7: Tính số ngày hoàn thành sớm hơn dự định.
Số ngày hoàn thành sớm hơn = Thời gian dự định – Tổng số ngày thực tế
Số ngày hoàn thành sớm hơn = 15 ngày – 40/3 ngày
Quy đồng mẫu số:
15 ngày = 45/3 ngày
Số ngày hoàn thành sớm hơn = 45/3 – 40/3 = 5/3 (ngày).
Để diễn đạt 5/3 ngày dưới dạng ngày và phần lẻ dễ hiểu hơn:
5/3 ngày = 1 và 2/3 ngày.
Vậy, đội hoàn thành con đường trước 5/3 ngày, hay 1 ngày và 2/3 ngày.
Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé.
Bài \(1\):
\(A = \frac{1}{2^2 – 1} + \frac{1}{3^2 – 1} + \frac{1}{4^2 – 1} + \dots + \frac{1}{20^2 – 1}\)
\(A = \frac{1}{(2 – 1)(2 + 1)} + \frac{1}{(3 – 1)(3 + 1)} + \frac{1}{(4 – 1)(4 + 1)} + \dots + \frac{1}{(20 – 1)(20 + 1)}\)
\(A = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{19 \cdot 21}\)
\(2A = \frac{2}{1 \cdot 3} + \frac{2}{2 \cdot 4} + \frac{2}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{2}{19 \cdot 21}\)
\(2A = \left(1 – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) + \dots + \left(\frac{1}{19} – \frac{1}{21}\right)\)
\(2A = \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{19}\right) – \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{21}\right)\)
\(2A = 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{20} – \frac{1}{21}\)
\(2A = \frac{3}{2} – \frac{41}{420}\)
\(2A = \frac{589}{420}\)
\(A = \frac{589}{840}\)
Vậy \(A = \frac{589}{840}\)
Bài \(2\):
\(a)\)
\(A= 3x^2 – 2xy + y^2\)
* Thay \(x = -2\) và \(y = 3\) vào \(A\), ta được:
\(A = 3 \cdot (-2)^2 – 2 \cdot (-2) \cdot 3 + 3^2\)
\(\Leftrightarrow 3 \cdot 4 + 12 + 9\)
\(\Leftrightarrow 12 + 12 + 9\)
\(\Leftrightarrow 33\)
Vậy khi \(x = -2, y = 3\) thì \(A = 33\)
\(b)\)
\(3x^2 – 2x + 1 = 2x^2 + 5x + 7\)
\(\rightarrow (3x^2 – 2x^2) – (2x + 5x) + (1 – 7) = 0\)
\(\rightarrow x^2 – 7x – 6 = 0\)
\(\rightarrow \left(x – \frac{7}{2}\right)^2 – \frac{73}{4} = 0\)
\(\rightarrow \left(x – \frac{7}{2}\right)^2 = \frac{73}{4}\)
\(\rightarrow \left[\begin{aligned} &x = \frac{7 + \sqrt{73}}{2} \\ &x = \frac{7 – \sqrt{73}}{2} \end{aligned}\right.\)
Vậy \(x \in \left\{\frac{7 – \sqrt{73}}{2}; \frac{7 + \sqrt{73}}{2}\right\}\)
Bài \(3\):
* Số ngày làm việc còn lại theo dự định ban đầu là:
\(15 – 5 = 10\) (ngày)
* Coi năng suất dự định ban đầu của đội mỗi ngày là \(100\%\), thì năng suất thực tế sau khi tăng thêm \(20\%\) là:
\(100\% + 20\% = 120\%\)
* Tỉ số giữa năng suất thực tế và năng suất dự định là:
\(120\% : 100\% = \frac{6}{5}\)
* Trên cùng một khối lượng công việc còn lại, thời gian và năng suất là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Do đó, tỉ số giữa thời gian thực tế và thời gian dự định để hoàn thành phần việc còn lại là: \(\frac{5}{6}\)
* Thời gian thực tế để đội hoàn thành phần công việc còn lại là:
\(10 \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{3}\) (ngày)
* Số ngày đội hoàn thành con đường trước dự định là:
\(10 – \frac{25}{3} = \frac{5}{3}\) (ngày)
Vậy đội hoàn thành con đường trước \(\frac{5}{3}\) ngày (tức \(1\) ngày \(16\) giờ)
◌ \(\color{#8B0000}{A}\color{#9F1200}{x}\color{#B32400}{e}\color{#C73600}{l}\color{#DB4800}{P}\color{#EF5A00}{h}\color{#FF6C00}{o}\color{#FF8500}{e}\color{#FF9E00}{n}\color{#FFB700}{i}\color{#FFD700}{x}\) ◌
Bài \(1\):
\(A = 1/(2^2 – 1) + 1/(3^2 – 1) + 1/(4^2 – 1) + … + 1/(20^2 – 1)\)
\(A = 1/((2 – 1)(2 + 1)) + 1/((3 – 1)(3 + 1)) + 1/((4 – 1)(4 + 1)) + … + 1/((20 – 1)(20 + 1))\)
\(A = 1/(1.3) + 1/(2.4) + 1/(3.5) + … + 1/(19.21)\)
\(2A = 2/(1.3) + 2/(2.4) + 2/(3.5) + … + 2/(19.21)\)
\(2A = (1 – 1/3) + (1/2 – 1/4) + (1/3 – 1/5) + … + (1/19 – 1/21)\)
\(2A = (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/19) – (1/3 + 1/4 + 1/5 + … + 1/21)\)
\(2A = 1 + 1/2 – 1/20 – 1/21\)
\(2A = 3/2 – 41/420\)
\(2A = 589/420\)
\(A = 589/840\)
Vậy \(A = 589/840\)
Bài \(2\):
\(a)\)
\(A = 3x^2 – 2xy + y^2\)
Thay \(x = -2\) và \(y = 3\) vào \(A\), ta được:
\(A = 3 \cdot (-2)^2 – 2 \cdot (-2) \cdot 3 + 3^2\)
\(A = 3 \cdot 4 + 12 + 9\)
\(A = 12 + 12 + 9\)
\(A = 33\)
Vậy \(A = 33\)
\(b)\)
\(3x^2 – 2x + 1 = 2x^2 + 5x + 7\)
\((3x^2 – 2x^2) – (2x + 5x) + (1 – 7) = 0\)
\(x^2 – 7x – 6 = 0\)
\(\left(x – \dfrac{7}{2}\right)^2 – \dfrac{73}{4} = 0\)
\(\left(x – \dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{73}{4}\)
TH1: \(x – \dfrac{7}{2} = \dfrac{\sqrt{73}}{2} \to x = \dfrac{7 + \sqrt{73}}{2}\)
TH2: \(x – \dfrac{7}{2} = -\dfrac{\sqrt{73}}{2} \to x = \dfrac{7 – \sqrt{73}}{2}\)
Vậy \(x \in \left\{\dfrac{7 – \sqrt{73}}{2}; \ \dfrac{7 + \sqrt{73}}{2}\right\}\)
Bài \(3\):
Theo dự định, số ngày làm việc còn lại là:
\(15 – 5 = 10\) (ngày)
Năng suất thực tế của đội sau khi tăng thêm \(20\%\) là: \(100\% + 20\% = 120\%\)
Tỉ số giữa năng suất thực tế và năng suất dự định ban đầu là:
\(120\% : 100\% = \dfrac{6}{5}\)
Vì thời gian và năng suất tỉ lệ nghịch nên tỉ số giữa thời gian thực tế và thời gian dự định là: \(\dfrac{5}{6}\)
Thời gian thực tế để đội hoàn thành phần công việc còn lại là:
\(10 \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{3}\) (ngày)
Số ngày đội hoàn thành con đường trước dự định ban đầu là:
\(10 – \dfrac{25}{3} = \dfrac{5}{3}\) (ngày)
Vậy …
\(\color{#FF0000}{♡^♡}\color{#FF7F00}{𝖘}\color{#FFD700}{𝖒}\color{#00FF00}{𝖕}\color{#00BFFF}{9}\color{#0000FF}{9}\color{#9400D3}{9}\color{#FF0000}{♡^♡}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment