Quãng đường `AB` gồm một đoạn lên dốc dài `3 km`, một đoạn xuống dốc dài `4 km`….
Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động rất thú vị và quen thuộc trong chương trình. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ các yếu tố và lập hệ phương trình để giải. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Đề bài: Quãng đường \(AB\) gồm một đoạn lên dốc dài \(3 km\), một đoạn xuống dốc dài \(4 km\). Một người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B \)hết\( 27\) phút và đi từ \(B \) về \(A\) hết \(29\) phút (vận tốc lên dốc, xuống dốc lúc đi và về như nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Phân tích bài toán và đặt ẩn:
Đây là bài toán chuyển động có hai loại vận tốc khác nhau: vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc. Chúng ta cần tìm cả hai vận tốc này. Các đại lượng đã cho là quãng đường và thời gian.
Gọi:
- \(v_u\) là vận tốc khi đi lên dốc (đơn vị: \(km/h\)).
- \(v_d\) là vận tốc khi đi xuống dốc (đơn vị: \(km/h\)).
Lưu ý: Đơn vị thời gian trong đề bài là phút, nhưng vận tốc thường được tính bằng \(km/h\). Vì vậy, chúng ta nên đổi thời gian ra giờ để thuận tiện cho việc tính toán.
- \(27\) phút \( = \frac{27}{60}\) giờ \( = \frac{9}{20}\) giờ.
- \(29\) phút \( = \frac{29}{60}\) giờ.
Lập hệ phương trình:
1. Khi đi từ \(A\) đến \(B\):
Theo đề bài, quãng đường từ \(A\) đến \(B\) gồm một đoạn lên dốc dài \(3 km\) và một đoạn xuống dốc dài \(4 km\).
- Thời gian đi đoạn lên dốc \(3 km\) là: \(\frac{3}{v_u}\) (giờ).
- Thời gian đi đoạn xuống dốc \(4 km\) là: \(\frac{4}{v_d}\) (giờ).
Tổng thời gian đi từ \(A\) đến \(B\) là \(27\) phút (\( = \frac{9}{20}\) giờ). Do đó, ta có phương trình thứ nhất:
\(\frac{3}{v_u} + \frac{4}{v_d} = \frac{9}{20}\) (1)
2. Khi đi từ \(B\) về \(A\):
Khi đi từ \(B\) về \(A\), quãng đường sẽ ngược lại so với lúc đi từ \(A\) đến \(B\).
- Đoạn đường \(3 km\) (trước đây là lên dốc) bây giờ sẽ là xuống dốc. Thời gian đi là: \(\frac{3}{v_d}\) (giờ).
- Đoạn đường \(4 km\) (trước đây là xuống dốc) bây giờ sẽ là lên dốc. Thời gian đi là: \(\frac{4}{v_u}\) (giờ).
Tổng thời gian đi từ \(B\) về \(A\) là \(29\) phút (\( = \frac{29}{60}\) giờ). Do đó, ta có phương trình thứ hai:
\(\frac{4}{v_u} + \frac{3}{v_d} = \frac{29}{60}\) (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases} \frac{3}{v_u} + \frac{4}{v_d} = \frac{9}{20} \\ \frac{4}{v_u} + \frac{3}{v_d} = \frac{29}{60} \end{cases}\)
Giải hệ phương trình:
Để giải hệ này, chúng ta có thể đặt \(x = \frac{1}{v_u}\) và \(y = \frac{1}{v_d}\). Hệ phương trình trở thành:
\(\begin{cases} 3x + 4y = \frac{9}{20} \\ 4x + 3y = \frac{29}{60} \end{cases}\)
Để loại trừ một ẩn, ta có thể nhân phương trình thứ nhất với \(3\) và phương trình thứ hai với \(4\):
\(\begin{cases} 9x + 12y = \frac{27}{20} \quad (Phương trình 1′) \\ 16x + 12y = \frac{116}{60} = \frac{29}{15} \quad (Phương trình 2′) \end{cases}\)
Trừ phương trình (1′) cho phương trình (2′):
\((16x + 12y) – (9x + 12y) = \frac{29}{15} – \frac{27}{20}\)
\(7x = \frac{116}{60} – \frac{81}{60}\)
\(7x = \frac{35}{60}\)
\(x = \frac{35}{60 \times 7}\)
\(x = \frac{5}{60}\)
\(x = \frac{1}{12}\)
Thay \(x = \frac{1}{12}\) vào phương trình gốc thứ nhất (\(3x + 4y = \frac{9}{20}\)):
\(3 \times \frac{1}{12} + 4y = \frac{9}{20}\)
\(\frac{1}{4} + 4y = \frac{9}{20}\)
\(4y = \frac{9}{20} – \frac{1}{4}\)
\(4y = \frac{9}{20} – \frac{5}{20}\)
\(4y = \frac{4}{20}\)
\(4y = \frac{1}{5}\)
\(y = \frac{1}{5 \times 4}\)
\(y = \frac{1}{20}\)
Vì \(x = \frac{1}{v_u}\) và \(y = \frac{1}{v_d}\), ta có:
\(\frac{1}{v_u} = \frac{1}{12} \Rightarrow v_u = 12 \text{ km/h}\)
\(\frac{1}{v_d} = \frac{1}{20} \Rightarrow v_d = 20 \text{ km/h}\)
Kiểm tra lại kết quả:
- Đi từ A đến B:
- Thời gian lên dốc (\(3 km\)): \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) giờ \( = 15\) phút.
- Thời gian xuống dốc (\(4 km\)): \(\frac{4}{20} = \frac{1}{5}\) giờ \( = 12\) phút.
- Tổng thời gian: \(15 + 12 = 27\) phút. (Chính xác)
- Đi từ B về A:
- Thời gian lên dốc (\(4 km\)): \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) giờ \( = 20\) phút.
- Thời gian xuống dốc (\(3 km\)): \(\frac{3}{20}\) giờ \( = 9\) phút.
- Tổng thời gian: \(20 + 9 = 29\) phút. (Chính xác)
Cả hai trường hợp đều khớp với đề bài, vậy kết quả chúng ta tìm được là đúng.
Kết luận:
Vậy, vận tốc lúc lên dốc là \(12 \text{ km/h}\) và vận tốc lúc xuống dốc là \(20 \text{ km/h}\).
Hy vọng các em đã nắm vững cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài toán tương tự để củng cố kiến thức nhé!
Gọi vận tốc lúc lên dốc của người đi xe đạp là \( x ( km \)\(/\)\(h ) \); vận tốc lúc người đi xe đạp xuống dốc là \(y ( km \)\(/\)\(h)\)
Điều kiện : \(x > 0 ; y > 0 ; x < y \)
Đổi : \(27′ = 9/20 h \) ; \(29’= 29/60 h \)
Vì vận tốc lúc lên dốc và xuống dốc của người đi xe đạp là không thay đổi nên thời gian lên dốc và xuống dốc không thay đổi .
Vì người đi xe đạp từ \(A\) đến \(B\) hết \( 27 \) phút nên ta có phương trình :
\(3/x + 4/y = 9/20\) \((1 )\)
Vì người đi xe đạp từ \(B\) về \(A\) hết \(29\) phút , nên ta có phương trình :
\(4/x + 3/y = 29/60 \) \((2 )\)
Từ \((1)\) và \((2)\) , ta có hệ phương trình :
\begin{cases} \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = \dfrac{9}{20}(1) \\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{29}{60}(2) \end{cases}
Đặt : \(a=1/x\) ; \(b=1/y\)
Hệ phương trình trở thành :
\begin{cases} 3a + 4b = \dfrac{9}{20} ( 3 ) \\ 4a + 3b = \dfrac{29}{60} (4)\end{cases}
Nhân từng vế của phương trình \((3)\) với \(4\) , nhân từng vế của phương trình \((4)\) với \(3\) , ta được :
\begin{cases} 12a + 16b = \dfrac{9}{5}(5) \\ 12a + 9b = \dfrac{29}{20} (6)\end{cases}
Trừ từng vế hai phương trình \((5)\) ; \((6)\) , ta được :
\(7b = 7/20\)
\(b= 1/20\)
Thay : \(b = 1/20 \) vào phương trình \((3)\) , ta được :
\( 3a + 4. 1/20 = 9/20\)
\(3a + 1/5 = 9/20\)
\(3a= 1/4\)
\(a=1/12\)
Suy ra : \begin{cases} a= \dfrac{1}{12} \\ b = \dfrac{1}{20}\end{cases}
Hay : \begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12} \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{20} \end{cases}
Suy ra : \(\begin{cases} x=12(tm)\\y=20 ( tm )\\ \end{cases}\)
Vậy : Vận tốc lên dốc của người đi xe đạp là : \(12 km\)\(/\)\(h\) ; Vận tốc xuống dốc của người đi xe đạp là : \( 20 km\)\(/\)\(h\)
\(text { Chúc bạn học tốt ! }\)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Gọi x,y lần lượt là vận tốc lúc lên,xuống của người đi xe đạp(0<x<y)
Do người đi xe đạp đi từ A->B nên thời gian người đó đi lên là 3/x(h)
Thời gian người đó đi xuống là 4/y(h)
Vì người đi xe đạp đi mất 27 phút nên ta có pt: 3/x+4/y=27/60 = 9/20 (1)
Do khi trở về người đó phải đi ngược lại từ B->A nên thời gian người đó đi lên là 4/x(h)
Thời gian người đó đi xuống là 3/y(h)
Vì người đi xe đạp mất 29 phút nên ta có pt:4/x+3/y=29/60 (2)
Từ 1,2 ta có hệ pt <3/x +4/y=9/20
<4/x+3/y=29/60
Đặt ẩn phụ e=1/x và f=1/y(e,f>0). Ta có hệ pt:
3e+4f=9/20 <=>12e+16f=9/5
4f+3e=29/60 <=>12e+9f=29/15
Ta đc 7f=9/5 -29/5= 7/60=>f=1/20
Thay f=1/20 và pt 3e+4f=9/20
3e+4. 1/20=9/20<=>3e=5/20<=>e=1/12
Vậy e=1/x=1/12=>x=12(TMĐK)
f=1/y=1/20=>y=20(TMĐK)
Vận tốc lúc lên dốc là 12km và lúc xuống là 20km
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment