Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán thú vị liên quan đến việc tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của các biểu thức bậc hai. Đây là một dạng toán rất quan trọng và thường gặp, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về tính chất của các hàm số bậc hai.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “hoàn thành bình phương” để đưa các biểu thức về dạng tổng hoặc hiệu của một bình phương và một hằng số. Phương pháp này giúp chúng ta dễ dàng xác định được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

—

Bài 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(A = x^2 + x – 2\)

Phân tích bài toán:
Biểu thức \(A = x^2 + x – 2\) là một đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\). Ở đây, hệ số của \(x^2\) là \(a = 1\), là một số dương. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này là một parabol mở lên trên, và do đó nó sẽ có một giá trị nhỏ nhất (đỉnh parabol nằm ở dưới cùng).

Phương pháp giải:
Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta sẽ “hoàn thành bình phương” cho biểu thức.

Lời giải chi tiết:
Chúng ta có biểu thức:

\(A = x^2 + x – 2\)

Để hoàn thành bình phương cho phần \(x^2 + x\), chúng ta cần cộng thêm một số hạng thích hợp. Ta nhớ lại hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ở đây, \(a = x\), và \(2ab = x\), suy ra \(2xb = x\), vậy \(b = 1/2\). Do đó, chúng ta cần cộng thêm \(b^2 = (1/2)^2 = 1/4\).

Để không làm thay đổi giá trị của biểu thức, chúng ta phải cộng và trừ \(1/4\):

\(A = (x^2 + x + 1/4) – 1/4 – 2\)

Nhóm ba số hạng đầu tiên lại, chúng ta được một bình phương:

\(A = (x + 1/2)^2 – 1/4 – 2\)

Thực hiện phép tính với các hằng số:

\(A = (x + 1/2)^2 – (1/4 + 8/4)\)
\(A = (x + 1/2)^2 – 9/4\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức này:
Vì \((x + 1/2)^2\) là một bình phương, nên nó luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của \(x\). Tức là:

\((x + 1/2)^2 \ge 0\)

Từ đó, ta có:

\(A = (x + 1/2)^2 – 9/4 \ge 0 – 9/4\)
\(A \ge -9/4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x + 1/2)^2 = 0\), tức là khi \(x + 1/2 = 0\).
Suy ra: \(x = -1/2\)

Kết luận:
Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(-9/4\), đạt được khi \(x = -1/2\).

—

Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(A = – x^2 -10x + 5\)

Phân tích bài toán:
Biểu thức \(A = -x^2 – 10x + 5\) cũng là một đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\). Ở đây, hệ số của \(x^2\) là \(a = -1\), là một số âm. Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống dưới, và do đó nó sẽ có một giá trị lớn nhất (đỉnh parabol nằm ở trên cùng).

Phương pháp giải:
Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cũng sẽ “hoàn thành bình phương” cho biểu thức.

Lời giải chi tiết:
Chúng ta có biểu thức:

\(A = -x^2 – 10x + 5\)

Trước tiên, ta nhóm các số hạng chứa \(x\) và đặt dấu trừ ra ngoài:

\(A = -(x^2 + 10x) + 5\)

Bây giờ, chúng ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần trong ngoặc \((x^2 + 10x)\). Ta nhớ lại hằng đẳng thức \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Ở đây, \(a = x\), và \(2ab = 10x\), suy ra \(2xb = 10x\), vậy \(b = 5\). Do đó, chúng ta cần cộng thêm \(b^2 = 5^2 = 25\).

Để không làm thay đổi giá trị của biểu thức, chúng ta phải cộng và trừ \(25\) bên trong ngoặc. Hãy cẩn thận với dấu trừ bên ngoài:

\(A = -(x^2 + 10x + 25 – 25) + 5\)
\(A = -((x^2 + 10x + 25) – 25) + 5\)

Nhóm ba số hạng đầu tiên trong ngoặc đơn lại, chúng ta được một bình phương:

\(A = -(x + 5)^2 – (-25) + 5\)
\(A = -(x + 5)^2 + 25 + 5\)

Thực hiện phép tính với các hằng số:

\(A = -(x + 5)^2 + 30\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức này:
Vì \((x + 5)^2\) là một bình phương, nên nó luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của \(x\). Tức là:

\((x + 5)^2 \ge 0\)

Khi ta đặt dấu trừ phía trước, thì \(-(x + 5)^2\) sẽ luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0:

\( -(x + 5)^2 \le 0\)

Từ đó, ta có:

\(A = -(x + 5)^2 + 30 \le 0 + 30\)
\(A \le 30\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(-(x + 5)^2 = 0\), tức là khi \((x + 5)^2 = 0\).
Suy ra: \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)

Kết luận:
Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(30\), đạt được khi \(x = -5\).

—

Hy vọng qua hai bài tập này, các em đã nắm vững cách tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức bậc hai bằng phương pháp hoàn thành bình phương. Hãy luyện tập thêm để làm quen với dạng toán này nhé!