Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ một tập hợp các chữ số cho trước. Bài toán này sẽ giúp các em ôn lại kiến thức về chữ số, ước chung và tính chất chia hết.

Chúng ta có tập hợp các chữ số: {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8}.

Yêu cầu là lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ tập hợp này.
Chúng ta cần tìm:
a) Số đó chia hết cho 3.
b) Số đó chia hết cho 6.

—

Phần a: Số đó chia hết cho 3

Một số tự nhiên chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các bộ 3 chữ số khác nhau từ tập hợp {0, 1, 2, 3, 5, 7, 8} có tổng chia hết cho 3.

Chúng ta có thể chia các chữ số đã cho thành các nhóm theo số dư khi chia cho 3:

• Nhóm 0 (chia hết cho 3): {0, 3}
• Nhóm 1 (chia 3 dư 1): {1, 7}
• Nhóm 2 (chia 3 dư 2): {2, 5, 8}

Để tổng 3 chữ số chia hết cho 3, chúng ta có các trường hợp sau:

1. Ba chữ số thuộc cùng một nhóm:
   • Từ nhóm 0: Không có đủ 3 chữ số.
   • Từ nhóm 1: Không có đủ 3 chữ số.
   • Từ nhóm 2: {2, 5, 8}. Tổng: \(2+5+8 = 15\), chia hết cho 3.

   Với bộ {2, 5, 8}, ta có thể lập được các số có 3 chữ số khác nhau là: 258, 285, 528, 582, 825, 852. (3! = 6 số)

2. Mỗi chữ số thuộc một nhóm khác nhau (lần lượt là nhóm 0, nhóm 1, nhóm 2):

   Chúng ta chọn 1 chữ số từ nhóm 0, 1 chữ số từ nhóm 1, 1 chữ số từ nhóm 2.

   Số cách chọn:

   • Chọn từ nhóm 0: Có 2 cách ({0, 3}).
   • Chọn từ nhóm 1: Có 2 cách ({1, 7}).
   • Chọn từ nhóm 2: Có 3 cách ({2, 5, 8}).

   Tổng số bộ 3 chữ số với trường hợp này là: \(2 \times 2 \times 3 = 12\) bộ.

   Bây giờ, chúng ta cần lập số có 3 chữ số khác nhau từ mỗi bộ này. Lưu ý rằng chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng trăm.

   Các bộ chữ số có chứa số 0:

   • Chọn 0 từ nhóm 0.
   • Chọn 1 từ nhóm 1, 1 từ nhóm 2. Có \(1 \times 2 \times 3 = 6\) bộ: {0,1,2}, {0,1,5}, {0,1,8}, {0,7,2}, {0,7,5}, {0,7,8}.

   Với mỗi bộ có chứa số 0 (ví dụ {0, a, b}), ta có thể lập được các số có 3 chữ số khác nhau bằng cách:

   • Chọn chữ số hàng trăm: Có 2 cách (chữ số a hoặc b).
   • Chọn chữ số hàng chục: Còn lại 2 chữ số, có 2 cách.
   • Chọn chữ số hàng đơn vị: Còn lại 1 chữ số, có 1 cách.

   Vậy, mỗi bộ có chứa số 0 sẽ lập được \(2 \times 2 \times 1 = 4\) số.

   Tổng số các số lập được từ 6 bộ này là: \(6 \times 4 = 24\) số.

   Các bộ chữ số không chứa số 0:

   • Chọn 3 từ nhóm 0.
   • Chọn 1 từ nhóm 1, 1 từ nhóm 2. Có \(1 \times 2 \times 3 = 6\) bộ: {3,1,2}, {3,1,5}, {3,1,8}, {3,7,2}, {3,7,5}, {3,7,8}.

   Với mỗi bộ không chứa số 0 (ví dụ {a, b, c}), ta có thể lập được \(3! = 6\) số có 3 chữ số khác nhau.

   Tổng số các số lập được từ 6 bộ này là: \(6 \times 6 = 36\) số.

3. Hai chữ số cùng nhóm, một chữ số nhóm khác:
   • Hai từ nhóm 0: Không có đủ 2 chữ số.
   • Hai từ nhóm 1: Không có đủ 2 chữ số.
   • Hai từ nhóm 2: {2, 5, 8}. Chọn 2 chữ số: C(3,2) = 3 bộ: {2,5}, {2,8}, {5,8}.
     • Với bộ {2,5}: Chọn 1 chữ số từ nhóm 0.
       • Bộ {2,5,0}. Tổng: 7 (không chia hết cho 3).
       • Bộ {2,5,3}. Tổng: 10 (không chia hết cho 3).
     • Với bộ {2,8}: Chọn 1 chữ số từ nhóm 0.
       • Bộ {2,8,0}. Tổng: 10 (không chia hết cho 3).
       • Bộ {2,8,3}. Tổng: 13 (không chia hết cho 3).
     • Với bộ {5,8}: Chọn 1 chữ số từ nhóm 0.
       • Bộ {5,8,0}. Tổng: 13 (không chia hết cho 3).
       • Bộ {5,8,3}. Tổng: 16 (không chia hết cho 3).
   • Hai từ nhóm 1: Không có đủ 2 chữ số.
   • Hai từ nhóm 2: Đã xét ở trên.

   Do đó, không có bộ nào thỏa mãn trường hợp này.

Tổng kết các bộ chữ số có tổng chia hết cho 3:

• Bộ {2, 5, 8}: 1 bộ.
• Các bộ có 1 chữ số từ mỗi nhóm (chia cho 3 dư 0, 1, 2): 12 bộ.

Tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3:

Số các số từ bộ {2, 5, 8}: 6 số.

Số các số từ 12 bộ chữ số có 1 chữ số từ mỗi nhóm:

• 6 bộ có chứa số 0: \(6 \times 4 = 24\) số.
• 6 bộ không chứa số 0: \(6 \times 6 = 36\) số.

Vậy, tổng số các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3 là: \(6 + 24 + 36 = 66\) số.

—

Phần b: Số đó chia hết cho 6

Một số tự nhiên chia hết cho 6 khi và chỉ khi số đó chia hết cho cả 2 và 3.

Từ phần a, chúng ta đã tìm được các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3.

Bây giờ, chúng ta cần lọc ra các số đó mà còn chia hết cho 2. Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là số chẵn (0, 2, 8 trong tập hợp đã cho).

Chúng ta sẽ xem xét lại các trường hợp lập số đã xét ở phần a:

1. Bộ {2, 5, 8}:

   Các số có thể lập được là: 258, 285, 528, 582, 825, 852.

   Các số chia hết cho 2 (tận cùng là 2 hoặc 8): 258, 528, 582, 852. (4 số)

2. Các bộ có 1 chữ số từ mỗi nhóm (chia 3 dư 0, 1, 2):

   Nhắc lại có 12 bộ như vậy.

   Trường hợp các bộ có chứa số 0 (6 bộ): {0,1,2}, {0,1,5}, {0,1,8}, {0,7,2}, {0,7,5}, {0,7,8}.

   Với mỗi bộ có chứa số 0, ta có 4 số được lập.

   Chúng ta cần các số tận cùng là 0 hoặc 2 hoặc 8.

   • Bộ {0,1,2}: Các số tận cùng là 2 hoặc 0.
     • Tận cùng là 2: 102.
     • Tận cùng là 0: 120, 210.

     (3 số chia hết cho 2)

   • Bộ {0,1,5}: Các số tận cùng là 0.
     • Tận cùng là 0: 150, 510.

     (2 số chia hết cho 2)

   • Bộ {0,1,8}: Các số tận cùng là 8 hoặc 0.
     • Tận cùng là 8: 108.
     • Tận cùng là 0: 180, 810.

     (3 số chia hết cho 2)

   • Bộ {0,7,2}: Các số tận cùng là 2 hoặc 0.
     • Tận cùng là 2: 702.
     • Tận cùng là 0: 720, 270.

     (3 số chia hết cho 2)

   • Bộ {0,7,5}: Các số tận cùng là 0.
     • Tận cùng là 0: 750, 570.

     (2 số chia hết cho 2)

   • Bộ {0,7,8}: Các số tận cùng là 8 hoặc 0.
     • Tận cùng là 8: 708.
     • Tận cùng là 0: 780, 870.

     (3 số chia hết cho 2)

   Tổng số các số chia hết cho 2 từ các bộ có chứa số 0 là: \(3 + 2 + 3 + 3 + 2 + 3 = 16\) số.

   Trường hợp các bộ không chứa số 0 (6 bộ): {3,1,2}, {3,1,5}, {3,1,8}, {3,7,2}, {3,7,5}, {3,7,8}.

   Với mỗi bộ không chứa số 0, ta có 6 số được lập.

   Chúng ta cần các số tận cùng là 2 hoặc 8.

   • Bộ {3,1,2}: Tận cùng là 2. Các số: 132, 312. (2 số)
   • Bộ {3,1,5}: Không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8. (0 số)
   • Bộ {3,1,8}: Tận cùng là 8. Các số: 138, 318. (2 số)
   • Bộ {3,7,2}: Tận cùng là 2. Các số: 372, 732. (2 số)
   • Bộ {3,7,5}: Không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 8. (0 số)
   • Bộ {3,7,8}: Tận cùng là 8. Các số: 378, 738. (2 số)

   Tổng số các số chia hết cho 2 từ các bộ không chứa số 0 là: \(2 + 0 + 2 + 2 + 0 + 2 = 8\) số.

Vậy, tổng số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 6 là: \(4 + 16 + 8 = 28\) số.

—

Tóm lại:

• a) Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3 là 66.
• b) Số các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 6 là 28.

Các em xem lại các bước giải và có câu hỏi gì thì cứ mạnh dạn hỏi thầy nhé!