Từ các chữ số 0,1,2,3,4,7,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số kh…
Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải một bài toán về tổ hợp và quy tắc đếm. Bài toán này yêu cầu chúng ta lập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ một tập hợp các chữ số cho trước và thỏa mãn các điều kiện về chia hết.
Đề bài: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?
a) Số đó chia hết cho 3
b) Số đó chia hết cho 6
Phân tích đề bài:
- Các chữ số cho trước: \(S = \{0, 1, 2, 3, 4, 7, 8\}\). Có tất cả 7 chữ số.
- Số cần lập là số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau, dạng \(abc\).
- Điều kiện:
- \(a \neq 0\) (vì là số có 3 chữ số).
- \(a, b, c\) phải là các chữ số khác nhau.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các dấu hiệu chia hết và quy tắc đếm.
—
Lời giải chi tiết:
Để thuận tiện, chúng ta sẽ phân loại các chữ số trong tập \(S\) theo số dư khi chia cho 3:
- Tập các chữ số có số dư 0 khi chia cho 3: \(S_0 = \{0, 3\}\) (có 2 chữ số)
- Tập các chữ số có số dư 1 khi chia cho 3: \(S_1 = \{1, 4, 7\}\) (có 3 chữ số)
- Tập các chữ số có số dư 2 khi chia cho 3: \(S_2 = \{2, 8\}\) (có 2 chữ số)
a) Số đó chia hết cho 3
Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Gọi số cần tìm là \(abc\).
Để \(a+b+c\) chia hết cho 3, tổng các số dư của \(a, b, c\) khi chia cho 3 phải chia hết cho 3. Có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cả ba chữ số đều có số dư 1 khi chia cho 3 (dạng \(1+1+1=3\)).
- Chọn 3 chữ số từ \(S_1 = \{1, 4, 7\}\). Chỉ có 1 cách chọn là chọn cả 3 chữ số này.
- Các chữ số là 1, 4, 7. Tổng \(1+4+7 = 12\) (chia hết cho 3).
- Từ 3 chữ số 1, 4, 7, ta có thể lập được \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) số có 3 chữ số khác nhau. (Ví dụ: 147, 174, …).
- Tất cả các số này đều không có chữ số 0, nên \(a \neq 0\) luôn được đảm bảo.
- Số lượng số lập được: 6 số.
Trường hợp 2: Ba chữ số có số dư lần lượt là 0, 1, 2 khi chia cho 3 (dạng \(0+1+2=3\)).
- Chọn 1 chữ số từ \(S_0\), 1 chữ số từ \(S_1\), 1 chữ số từ \(S_2\).
- Số cách chọn 3 chữ số khác nhau: \(2 \text{ (từ } S_0) \times 3 \text{ (từ } S_1) \times 2 \text{ (từ } S_2) = 12\) tập hợp chữ số.
- Chúng ta cần phân biệt 2 loại tập hợp: có chứa chữ số 0 và không chứa chữ số 0.
- Loại 2a: Tập hợp chứa chữ số 0.
- Chữ số 0 được chọn từ \(S_0\). Chữ số còn lại từ \(S_0\) là 3.
- Số cách chọn tập hợp có chữ số 0: \(1 \text{ (chọn 0 từ } S_0) \times 3 \text{ (từ } S_1) \times 2 \text{ (từ } S_2) = 6\) tập hợp.
- Các tập hợp ví dụ: \(\{0, 1, 2\}, \{0, 1, 8\}, \{0, 4, 2\}, \{0, 4, 8\}, \{0, 7, 2\}, \{0, 7, 8\}\).
- Với mỗi tập hợp \(\{0, x, y\}\) (ví dụ \(\{0, 1, 2\}\)), để lập số \(abc\):
- Chữ số \(a\) có 2 cách chọn (là \(x\) hoặc \(y\), không thể là 0).
- Chữ số \(b\) có 2 cách chọn (một trong hai chữ số còn lại).
- Chữ số \(c\) có 1 cách chọn (chữ số cuối cùng).
- Vậy, mỗi tập hợp như vậy tạo thành \(2 \times 2 \times 1 = 4\) số.
- Tổng số số lập được từ các tập hợp này: \(6 \times 4 = 24 số\).
- Loại 2b: Tập hợp không chứa chữ số 0.
- Chữ số 3 được chọn từ \(S_0\).
- Số cách chọn tập hợp không chứa chữ số 0: \(1 \text{ (chọn 3 từ } S_0) \times 3 \text{ (từ } S_1) \times 2 \text{ (từ } S_2) = 6\) tập hợp.
- Các tập hợp ví dụ: \(\{3, 1, 2\}, \{3, 1, 8\}, \{3, 4, 2\}, \{3, 4, 8\}, \{3, 7, 2\}, \{3, 7, 8\}\).
- Với mỗi tập hợp \(\{x, y, z\}\) (ví dụ \(\{3, 1, 2\}\)), cả 3 chữ số đều khác 0.
- Có \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\) cách sắp xếp các chữ số này để tạo thành số \(abc\).
- Tổng số số lập được từ các tập hợp này: \(6 \times 6 = 36 số\).
Tổng số các số chia hết cho 3 là: \(6 \text{ (Trường hợp 1)} + 24 \text{ (Loại 2a)} + 36 \text{ (Loại 2b)} = 66 số\).
—
b) Số đó chia hết cho 6
Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó đồng thời chia hết cho 2 và chia hết cho 3.
- Điều kiện 1 (chia hết cho 2): Chữ số tận cùng \(c\) phải là chữ số chẵn. Các chữ số chẵn trong tập \(S\) là \(\{0, 2, 4, 8\}\).
- Điều kiện 2 (chia hết cho 3): Tổng các chữ số \(a+b+c\) phải chia hết cho 3.
Chúng ta sẽ xét từng trường hợp cho chữ số \(c\):
Trường hợp B1: \(c = 0\)
- Chữ số \(c = 0\). (Chữ số 0 thuộc \(S_0\)).
- Các chữ số còn lại để chọn \(a, b\) là \(\{1, 2, 3, 4, 7, 8\}\). (Đây là tập \(S\) bỏ đi 0).
- Điều kiện chia hết cho 3: \(a+b+0\) phải chia hết cho 3, hay \(a+b\) phải chia hết cho 3.
- Phân loại các chữ số còn lại theo số dư khi chia cho 3:
- \(S’_0 = \{3\}\) (1 chữ số)
- \(S’_1 = \{1, 4, 7\}\) (3 chữ số)
- \(S’_2 = \{2, 8\}\) (2 chữ số)
- Để \(a+b\) chia hết cho 3, có 2 trường hợp cho số dư của \(a, b\):
- Dạng \(1+2=3\): Chọn 1 chữ số từ \(S’_1\) và 1 chữ số từ \(S’_2\).
- Số cách chọn cặp chữ số \(\{a,b\}\): \(3 \text{ (từ } S’_1) \times 2 \text{ (từ } S’_2) = 6\) cặp.
- Ví dụ: \(\{1,2\}, \{1,8\}, \{4,2\}, \{4,8\}, \{7,2\}, \{7,8\}\).
- Với mỗi cặp \(\{x, y\}\), có \(2! = 2\) cách sắp xếp để tạo thành \(ab\) (ví dụ: \(12\) và \(21\)).
- Vậy có \(6 \times 2 = 12\) số \(ab\). Tất cả các chữ số này đều khác 0.
- Tổng số số lập được khi \(c=0\) là: 12 số.
- Dạng \(0+0=0\): Không thể xảy ra vì chỉ có 1 chữ số trong \(S’_0\).
- Dạng \(1+2=3\): Chọn 1 chữ số từ \(S’_1\) và 1 chữ số từ \(S’_2\).
Trường hợp B2: \(c = 2\)
- Chữ số \(c = 2\). (Chữ số 2 thuộc \(S_2\)).
- Các chữ số còn lại để chọn \(a, b\) là \(\{0, 1, 3, 4, 7, 8\}\). (Đây là tập \(S\) bỏ đi 2).
- Điều kiện chia hết cho 3: \(a+b+2\) phải chia hết cho 3, hay \(a+b\) phải có số dư 1 khi chia cho 3 (tức là \(a+b = 3k+1\)).
- Phân loại các chữ số còn lại theo số dư khi chia cho 3:
- \(S”_0 = \{0, 3\}\) (2 chữ số)
- \(S”_1 = \{1, 4, 7\}\) (3 chữ số)
- \(S”_2 = \{8\}\) (1 chữ số)
- Để \(a+b\) có số dư 1 khi chia cho 3, có 1 trường hợp cho số dư của \(a, b\):
- Dạng \(0+1=1\): Chọn 1 chữ số từ \(S”_0\) và 1 chữ số từ \(S”_1\).
- Số cách chọn cặp chữ số \(\{a,b\}\): \(2 \text{ (từ } S”_0) \times 3 \text{ (từ } S”_1) = 6\) cặp.
- Trong 6 cặp này, có các cặp chứa chữ số 0 và các cặp không chứa chữ số 0.
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,1\}, \{0,4\}, \{0,7\}\) (3 cặp).
- Với mỗi cặp \(\{0,x\}\), \(a\) không thể là 0. Vậy \(a\) phải là \(x\), \(b\) phải là 0. (Ví dụ: \(102, 402, 702\)).
- Có \(3 \times 1 = 3\) số.
- Cặp không có chữ số 0: \(\{3,1\}, \{3,4\}, \{3,7\}\) (3 cặp).
- Với mỗi cặp \(\{x,y\}\), có \(2! = 2\) cách sắp xếp để tạo thành \(ab\). (Ví dụ: \(312, 132\)).
- Có \(3 \times 2 = 6\) số.
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,1\}, \{0,4\}, \{0,7\}\) (3 cặp).
- Tổng số số lập được khi \(c=2\) là: \(3 + 6 = 9 số\).
- Dạng \(0+1=1\): Chọn 1 chữ số từ \(S”_0\) và 1 chữ số từ \(S”_1\).
Trường hợp B3: \(c = 4\)
- Chữ số \(c = 4\). (Chữ số 4 thuộc \(S_1\)).
- Các chữ số còn lại để chọn \(a, b\) là \(\{0, 1, 2, 3, 7, 8\}\). (Đây là tập \(S\) bỏ đi 4).
- Điều kiện chia hết cho 3: \(a+b+4\) phải chia hết cho 3, hay \(a+b\) phải có số dư 2 khi chia cho 3 (tức là \(a+b = 3k+2\)).
- Phân loại các chữ số còn lại theo số dư khi chia cho 3:
- \(S”’_0 = \{0, 3\}\) (2 chữ số)
- \(S”’_1 = \{1, 7\}\) (2 chữ số)
- \(S”’_2 = \{2, 8\}\) (2 chữ số)
- Để \(a+b\) có số dư 2 khi chia cho 3, có 2 trường hợp cho số dư của \(a, b\):
- Dạng \(0+2=2\): Chọn 1 chữ số từ \(S”’_0\) và 1 chữ số từ \(S”’_2\).
- Số cách chọn cặp chữ số \(\{a,b\}\): \(2 \text{ (từ } S”’_0) \times 2 \text{ (từ } S”’_2) = 4\) cặp.
- Trong 4 cặp này:
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,2\}, \{0,8\}\) (2 cặp).
- \(a\) không thể là 0. Vậy có \(2 \times 1 = 2\) số. (Ví dụ: \(204, 804\)).
- Cặp không có chữ số 0: \(\{3,2\}, \{3,8\}\) (2 cặp).
- Có \(2 \times 2 = 4\) số. (Ví dụ: \(324, 234\)).
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,2\}, \{0,8\}\) (2 cặp).
- Tổng số số từ dạng \(0+2\): \(2 + 4 = 6\) số.
- Dạng \(1+1=2\): Chọn 2 chữ số từ \(S”’_1\).
- Chỉ có 1 cách chọn là \(\{1,7\}\) từ \(S”’_1 = \{1,7\}\).
- Với cặp \(\{1,7\}\), có \(2! = 2\) cách sắp xếp để tạo thành \(ab\). (Ví dụ: \(174, 714\)).
- Tổng số số từ dạng \(1+1\): 2 số.
- Dạng \(0+2=2\): Chọn 1 chữ số từ \(S”’_0\) và 1 chữ số từ \(S”’_2\).
- Tổng số số lập được khi \(c=4\) là: \(6 + 2 = 8 số\).
Trường hợp B4: \(c = 8\)
- Chữ số \(c = 8\). (Chữ số 8 thuộc \(S_2\)).
- Các chữ số còn lại để chọn \(a, b\) là \(\{0, 1, 2, 3, 4, 7\}\). (Đây là tập \(S\) bỏ đi 8).
- Điều kiện chia hết cho 3: \(a+b+8\) phải chia hết cho 3, hay \(a+b\) phải có số dư 1 khi chia cho 3 (tức là \(a+b = 3k+1\)).
- Phân loại các chữ số còn lại theo số dư khi chia cho 3:
- \(S””_0 = \{0, 3\}\) (2 chữ số)
- \(S””_1 = \{1, 4, 7\}\) (3 chữ số)
- \(S””_2 = \{2\}\) (1 chữ số)
- Để \(a+b\) có số dư 1 khi chia cho 3, có 1 trường hợp cho số dư của \(a, b\):
- Dạng \(0+1=1\): Chọn 1 chữ số từ \(S””_0\) và 1 chữ số từ \(S””_1\).
- Số cách chọn cặp chữ số \(\{a,b\}\): \(2 \text{ (từ } S””_0) \times 3 \text{ (từ } S””_1) = 6\) cặp.
- Trong 6 cặp này:
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,1\}, \{0,4\}, \{0,7\}\) (3 cặp).
- \(a\) không thể là 0. Vậy có \(3 \times 1 = 3\) số. (Ví dụ: \(108, 408, 708\)).
- Cặp không có chữ số 0: \(\{3,1\}, \{3,4\}, \{3,7\}\) (3 cặp).
- Có \(3 \times 2 = 6\) số. (Ví dụ: \(318, 138\)).
- Cặp có chữ số 0: \(\{0,1\}, \{0,4\}, \{0,7\}\) (3 cặp).
- Tổng số số lập được khi \(c=8\) là: \(3 + 6 = 9 số\).
- Dạng \(0+1=1\): Chọn 1 chữ số từ \(S””_0\) và 1 chữ số từ \(S””_1\).
Tổng số các số chia hết cho 6 là: \(12 \text{ (khi c=0)} + 9 \text{ (khi c=2)} + 8 \text{ (khi c=4)} + 9 \text{ (khi c=8)} = 38 số\).
—
Kết luận:
a) Có 66 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau, chia hết cho 3.
b) Có 38 số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau, chia hết cho 6.
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách áp dụng các dấu hiệu chia hết và quy tắc đếm trong bài toán tổ hợp. Chúc các em học tốt!
Giải thích các bước giải:
\(\begin{align*} & \text{a) Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3} \\ & \text{Gọi tập hợp các chữ số đã cho là:} \\ & S = \{0; 1; 2; 3; 4; 7; 8\} \\ & \text{Chia tập } S \text{ thành 3 tập con theo số dư khi chia cho 3:} \\ & S_0 = \{0; 3\} \quad (\text{các chữ số chia hết cho 3}) \\ & S_1 = \{1; 4; 7\} \quad (\text{các chữ số chia 3 dư 1}) \\ & S_2 = \{2; 8\} \quad (\text{các chữ số chia 3 dư 2}) \\ & \text{Để số có 3 chữ số lập được chia hết cho 3,} \\ & \text{thì tổng 3 chữ số đó cũng phải chia hết cho 3.} \\ & \text{TH1: 3 chữ số được chọn cùng thuộc tập } S_1 \text{.} \\ & \text{(Không xét } S_0, S_2 \text{ vì không đủ 3 phần tử).} \\ & \text{Số bộ 3 chữ số chọn được là:} \\ & C_3^3 = 1 \text{ (bộ) } \Rightarrow \{1; 4; 7\} \\ & \text{Số các số lập được từ bộ này là:} \\ & 3! = 6 \text{ (số)} \\ & \text{TH2: Chọn 1 chữ số từ } S_0 \text{, 1 chữ số từ } S_1 \text{ và 1 chữ số từ } S_2 \text{.} \\ & \text{Số bộ 3 chữ số chọn được trong trường hợp này là:} \\ & C_2^1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1 = 12 \text{ (bộ)} \\ & \text{Trong đó, số bộ có chứa chữ số 0 là:} \\ & 1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1 = 6 \text{ (bộ)} \\ & \text{Với mỗi bộ chứa chữ số 0 (chữ số hàng trăm phải khác 0),} \\ & \text{số các số lập được là:} \\ & 2 \cdot 2 \cdot 1 = 4 \text{ (số)} \\ & \text{Số bộ không chứa chữ số 0 (tức là chứa chữ số 3) là:} \\ & 1 \cdot C_3^1 \cdot C_2^1 = 6 \text{ (bộ)} \\ & \text{Với mỗi bộ không chứa chữ số 0, số các số lập được là:} \\ & 3! = 6 \text{ (số)} \\ & \text{Tổng số các số lập được trong TH2 là:} \\ & 6 \cdot 4 + 6 \cdot 6 = 60 \text{ (số)} \\ & \text{Vậy tổng số các số chia hết cho 3 thỏa mãn là:} \\ & 6 + 60 = 66 \text{ (số)} \\ & \\ & \text{b) Số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 6} \\ & \text{Gọi số cần tìm là } \overline{abc} \text{ (với } a \neq 0\text{).} \\ & \text{Số chia hết cho 6 khi nó đồng thời chia hết cho 2 và 3.} \\ & \text{Suy ra } \overline{abc} \text{ phải chia hết cho 3 và có } c \in \{0; 2; 4; 8\}. \\ & \text{TH1: Nếu } c = 0 \text{.} \\ & \text{Ta cần chọn } a, b \text{ sao cho tổng } (a+b) \text{ chia hết cho 3.} \\ & \text{Bắt buộc phải chọn 1 chữ số từ } S_1 \text{ và 1 chữ số từ } S_2 \text{.} \\ & \text{Số cách chọn và sắp xếp vào vị trí } a, b \text{ là:} \\ & C_3^1 \cdot C_2^1 \cdot 2! = 12 \text{ (số)} \\ & \text{TH2: Nếu } c = 2 \text{.} \\ & \text{Ta cần tổng } (a+b) \text{ chia 3 dư 1. Chọn } a, b \text{ từ } \{0; 1; 3; 4; 7; 8\}. \\ & \text{Chọn 1 chữ số từ } S_0 \text{ và 1 chữ số từ } S_1 \text{ ta có:} \\ & C_2^1 \cdot C_3^1 = 6 \text{ (cặp số)} \\ & \text{- Có 3 cặp chứa số 0, mỗi cặp chỉ tạo ra được 1 số (do } a \neq 0 \text{):} \\ & 3 \cdot 1 = 3 \text{ (số)} \\ & \text{- Có 3 cặp chứa số 3, mỗi cặp tạo ra được } 2! \text{ số:} \\ & 3 \cdot 2 = 6 \text{ (số)} \\ & \text{Tổng số các số khi } c = 2 \text{ là:} \\ & 3 + 6 = 9 \text{ (số)} \\ & \text{TH3: Nếu } c = 4 \text{.} \\ & \text{Ta cần tổng } (a+b) \text{ chia 3 dư 2. Chọn } a, b \text{ từ } \{0; 1; 2; 3; 7; 8\}. \\ & \text{Chọn 1 chữ số từ } S_0 \text{ và 1 chữ số từ } S_2 \text{ ta có:} \\ & C_2^1 \cdot C_2^1 = 4 \text{ (cặp số)} \\ & \text{- Có 2 cặp chứa số 0, mỗi cặp tạo ra 1 số:} \\ & 2 \cdot 1 = 2 \text{ (số)} \\ & \text{- Có 2 cặp chứa số 3, mỗi cặp tạo ra } 2! \text{ số:} \\ & 2 \cdot 2 = 4 \text{ (số)} \\ & \text{Chọn 2 chữ số từ } S_1 \setminus \{4\} = \{1; 7\} \text{ ta có 1 cặp số, tạo ra:} \\ & 1 \cdot 2! = 2 \text{ (số)} \\ & \text{Tổng số các số khi } c = 4 \text{ là:} \\ & 2 + 4 + 2 = 8 \text{ (số)} \\ & \text{TH4: Nếu } c = 8 \text{.} \\ & \text{Ta cần tổng } (a+b) \text{ chia 3 dư 1. Chọn } a, b \text{ từ } \{0; 1; 2; 3; 4; 7\}. \\ & \text{Chọn 1 chữ số từ } S_0 \text{ và 1 chữ số từ } S_1 \text{ tương tự TH2:} \\ & C_2^1 \cdot C_3^1 = 6 \text{ (cặp số)} \\ & \text{- Có 3 cặp chứa số 0, mỗi cặp tạo ra 1 số:} \\ & 3 \cdot 1 = 3 \text{ (số)} \\ & \text{- Có 3 cặp chứa số 3, mỗi cặp tạo ra } 2! \text{ số:} \\ & 3 \cdot 2 = 6 \text{ (số)} \\ & \text{Tổng số các số khi } c = 8 \text{ là:} \\ & 3 + 6 = 9 \text{ (số)} \\ & \text{Vậy tổng số các số chia hết cho 6 thỏa mãn bài toán là:} \\ & 12 + 9 + 8 + 9 = 38 \text{ (số)} \end{align*}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment