Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số m. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và điểm nghiệm này nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Chúng ta có hệ phương trình sau:

\[
\left[
\begin{array}{l}
x+my = 1 \quad (1)\\
mx – y =-m \quad (2)
\end{array}
\right.
\]

Bước 1: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Để hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, điều kiện là tỉ số của các hệ số của x phải khác với tỉ số của các hệ số của y.
Trong hệ phương trình của chúng ta, hệ số của x lần lượt là 1 và m. Hệ số của y lần lượt là m và -1.
Vậy, điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:

\( \frac{1}{m} \neq \frac{m}{-1} \)

\( -1 \neq m^2 \)

\( m^2 \neq -1 \)

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi giá trị thực của m, vì \(m^2 \ge 0\) với mọi m. Tuy nhiên, chúng ta cũng cần xem xét trường hợp mẫu số bằng 0.
Nếu \(m=0\), hệ phương trình trở thành:

\[
\left[
\begin{array}{l}
x = 1 \\
-y = 0 \Rightarrow y = 0
\end{array}
\right.
\]

Trong trường hợp này, hệ có nghiệm duy nhất là \( (x;y) = (1;0) \).
Trở lại điều kiện ban đầu: \( \frac{1}{m} \neq \frac{m}{-1} \).
Nếu \(m \neq 0\), chúng ta có \( -1 \neq m^2 \). Điều này luôn đúng với mọi m thực.
Tuy nhiên, chúng ta cần cẩn thận khi chia. Cách tốt nhất để tránh sai sót là nhân chéo:

\( 1 \cdot (-1) \neq m \cdot m \)

\( -1 \neq m^2 \)

Điều này luôn đúng với mọi số thực m.
Nhưng, để hệ có nghiệm duy nhất, ta cần xác định định thức của hệ số. Định thức D của hệ là:

\( D = \begin{vmatrix} 1 & m \\ m & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) – m \cdot m = -1 – m^2 \)

Hệ có nghiệm duy nhất khi \( D \neq 0 \).

\( -1 – m^2 \neq 0 \)

\( m^2 \neq -1 \)

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi số thực m. Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị thực của m.

Bước 2: Tìm nghiệm của hệ phương trình theo m.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp Cramer hoặc phương pháp thế để tìm nghiệm. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Cramer để tìm định thức \(D_x\) và \(D_y\).
Định thức \(D_x\): thay cột hệ số của x bằng cột hằng số tự do (1, -m).

\( D_x = \begin{vmatrix} 1 & m \\ -m & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) – m \cdot (-m) = -1 + m^2 \)

Định thức \(D_y\): thay cột hệ số của y bằng cột hằng số tự do (1, -m).

\( D_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ m & -m \end{vmatrix} = 1 \cdot (-m) – 1 \cdot m = -m – m = -2m \)

Khi hệ có nghiệm duy nhất (vì \(D = -1 – m^2 \neq 0\) với mọi m), nghiệm được cho bởi:

\( x = \frac{D_x}{D} = \frac{m^2 – 1}{-1 – m^2} = \frac{1 – m^2}{1 + m^2} \)

\( y = \frac{D_y}{D} = \frac{-2m}{-1 – m^2} = \frac{2m}{1 + m^2} \)

Bước 3: Tìm m để nghiệm (x;y) thuộc góc phần tư thứ nhất.

Một điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất khi cả tọa độ x và tọa độ y đều dương.
Vậy, chúng ta cần:

\( x > 0 \) và \( y > 0 \)

\( \frac{1 – m^2}{1 + m^2} > 0 \) (Điều kiện 3)

\( \frac{2m}{1 + m^2} > 0 \) (Điều kiện 4)

Xét Điều kiện 4 trước vì nó đơn giản hơn.
Mẫu số \( 1 + m^2 \) luôn dương với mọi m thực.
Do đó, để \( \frac{2m}{1 + m^2} > 0 \), ta cần \( 2m > 0 \), suy ra \( m > 0 \).

Bây giờ xét Điều kiện 3: \( \frac{1 – m^2}{1 + m^2} > 0 \).
Tương tự, mẫu số \( 1 + m^2 \) luôn dương.
Do đó, để \( \frac{1 – m^2}{1 + m^2} > 0 \), ta cần \( 1 – m^2 > 0 \).

\( 1 – m^2 > 0 \)

\( 1 > m^2 \)

\( m^2 < 1 \)

Điều này tương đương với \( -1 < m < 1 \). Bước 4: Kết hợp các điều kiện để tìm m.

Chúng ta cần thỏa mãn cả hai điều kiện:
1. \( m > 0 \) (từ Điều kiện 4)
2. \( -1 < m < 1 \) (từ Điều kiện 3) Giao của hai tập điều kiện này là \( 0 < m < 1 \). Kết luận:

Vậy, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) là 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất, thì giá trị của m phải thỏa mãn \( 0 < m < 1 \). Các em có câu hỏi nào không? Nếu có, cứ mạnh dạn hỏi nhé!