Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán thực tế về năng suất làm việc, một dạng bài rất quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta. Dạng bài này yêu cầu chúng ta phải biết cách đặt ẩn, lập hệ phương trình và giải phương trình bậc hai. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

***

Bài 1: Máy bơm nước

Đề bài: 2 chiếc máy bơm nước vào bể không có nước sau 5 giờ đầy bể. Nếu máy bơm thứ nhất bơm một mình thì nhanh hơn máy bơm thứ 2 là 3 giờ. Nếu bật một mình máy bơm thứ nhất thì chảy đầy bể trong bao lâu?

Phân tích và giải:

Đây là bài toán liên quan đến công việc chung và riêng. Chúng ta sẽ quy ước toàn bộ công việc (làm đầy bể) là 1 đơn vị.

Bước 1: Đặt ẩn số và thiết lập các đại lượng liên quan

• Gọi thời gian máy bơm thứ nhất (MB1) bơm một mình đầy bể là \(x\) (giờ). Điều kiện: \(x > 0\).
• Theo đề bài, máy bơm thứ nhất bơm nhanh hơn máy bơm thứ hai là 3 giờ. Điều này có nghĩa là thời gian máy bơm thứ hai (MB2) bơm một mình đầy bể sẽ lâu hơn MB1 là 3 giờ.
  Do đó, thời gian máy bơm thứ hai bơm một mình đầy bể là \(x + 3\) (giờ). Điều kiện: \(x + 3 > 0\), tức là \(x > -3\), nhưng vì \(x > 0\) nên điều kiện này luôn đúng.
• Trong 1 giờ:
  • MB1 bơm được \( \frac{1}{x} \) (bể). Đây là năng suất của MB1.
  • MB2 bơm được \( \frac{1}{x+3} \) (bể). Đây là năng suất của MB2.

Bước 2: Lập phương trình

• Hai máy bơm cùng bơm vào bể thì sau 5 giờ đầy bể. Điều này có nghĩa là trong 1 giờ, cả hai máy bơm sẽ bơm được \( \frac{1}{5} \) (bể).
• Tổng năng suất của cả hai máy bơm trong 1 giờ là: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} \).
• Vậy, ta có phương trình:
  \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{5} \)

Bước 3: Giải phương trình

Để giải phương trình này, chúng ta cần quy đồng mẫu số và khử mẫu:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{5} \)

Mẫu số chung là \( 5x(x+3) \). Ta nhân cả hai vế với mẫu số chung:

\( 5(x+3) + 5x = x(x+3) \)

Thực hiện phép nhân và cộng trừ:

\( 5x + 15 + 5x = x^2 + 3x \)

\( 10x + 15 = x^2 + 3x \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( x^2 + 3x – 10x – 15 = 0 \)

\( x^2 – 7x – 15 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -15\).
Tính biệt thức delta (\( \Delta \)):

\( \Delta = b^2 – 4ac = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-15) \)

\( \Delta = 49 + 60 \)

\( \Delta = 109 \)

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{109}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) – \sqrt{109}}{2 \cdot 1} = \frac{7 – \sqrt{109}}{2} \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

• Nghiệm \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \): Vì \( \sqrt{109} \approx 10.44 \), nên \( x_1 \approx \frac{7 + 10.44}{2} = \frac{17.44}{2} \approx 8.72 \). Giá trị này dương, nên thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).
• Nghiệm \( x_2 = \frac{7 – \sqrt{109}}{2} \): Vì \( \sqrt{109} \approx 10.44 \), nên \( x_2 \approx \frac{7 – 10.44}{2} = \frac{-3.44}{2} \approx -1.72 \). Giá trị này âm, không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) (thời gian không thể âm).

Vậy, thời gian máy bơm thứ nhất bơm đầy bể một mình là \( \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \) giờ.

Đáp số Bài 1: Máy bơm thứ nhất chảy đầy bể một mình trong \( \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \) giờ.

***

Bài 2: Hai đội công nhân

Đề bài: 2 đội công nhân làm việc trong 4 giờ thì xong. Nếu làm một mình thì đội thứ nhất cần ít thời gian hơn đội thứ 2 là 6 giờ. Hỏi, mỗi đội làm một mình xong công việc đó trong bao lâu?

Phân tích và giải:

Bài toán này có cấu trúc tương tự bài 1, cũng là bài toán về năng suất làm việc. Ta cũng quy ước toàn bộ công việc là 1 đơn vị.

Bước 1: Đặt ẩn số và thiết lập các đại lượng liên quan

• Gọi thời gian đội thứ nhất (Đ1) làm một mình xong công việc là \(x\) (giờ). Điều kiện: \(x > 0\).
• Theo đề bài, đội thứ nhất cần ít thời gian hơn đội thứ hai là 6 giờ. Điều này có nghĩa là thời gian đội thứ hai (Đ2) làm một mình xong công việc sẽ lâu hơn Đ1 là 6 giờ.
  Do đó, thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là \(x + 6\) (giờ). Điều kiện: \(x + 6 > 0\), tức là \(x > -6\), nhưng vì \(x > 0\) nên điều kiện này luôn đúng.
• Trong 1 giờ:
  • Đ1 làm được \( \frac{1}{x} \) (phần công việc). Đây là năng suất của Đ1.
  • Đ2 làm được \( \frac{1}{x+6} \) (phần công việc). Đây là năng suất của Đ2.

Bước 2: Lập phương trình

• Hai đội cùng làm thì trong 4 giờ xong công việc. Điều này có nghĩa là trong 1 giờ, cả hai đội làm được \( \frac{1}{4} \) (phần công việc).
• Tổng năng suất của cả hai đội trong 1 giờ là: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} \).
• Vậy, ta có phương trình:
  \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \)

Bước 3: Giải phương trình

Để giải phương trình này, chúng ta cần quy đồng mẫu số và khử mẫu:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4} \)

Mẫu số chung là \( 4x(x+6) \). Ta nhân cả hai vế với mẫu số chung:

\( 4(x+6) + 4x = x(x+6) \)

Thực hiện phép nhân và cộng trừ:

\( 4x + 24 + 4x = x^2 + 6x \)

\( 8x + 24 = x^2 + 6x \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( x^2 + 6x – 8x – 24 = 0 \)

\( x^2 – 2x – 24 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử

Ta cần tìm hai số có tích bằng -24 và tổng bằng -2. Hai số đó là -6 và 4.

\( (x – 6)(x + 4) = 0 \)

Suy ra hai nghiệm:

\( x – 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \)

\( x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4 \)

Cách 2: Dùng công thức nghiệm

\(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -24\).

\( \Delta’ = b’^2 – ac \) (sử dụng delta phẩy vì \(b\) là số chẵn, \(b’ = b/2 = -1\))

\( \Delta’ = (-1)^2 – 1 \cdot (-24) \)

\( \Delta’ = 1 + 24 \)

\( \Delta’ = 25 \)

\( \sqrt{\Delta’} = \sqrt{25} = 5 \)

Hai nghiệm là:

\( x_1 = \frac{-b’ + \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) + 5}{1} = \frac{1 + 5}{1} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b’ – \sqrt{\Delta’}}{a} = \frac{-(-1) – 5}{1} = \frac{1 – 5}{1} = -4 \)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

• Nghiệm \( x = 6 \): Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).
• Nghiệm \( x = -4 \): Không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) (thời gian không thể âm).

Vậy, thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là 6 giờ.

Thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là \(x + 6 = 6 + 6 = 12\) giờ.

Kiểm tra lại:

• Đội 1 làm 6 giờ, Đội 2 làm 12 giờ. Đội 1 nhanh hơn Đội 2 là \(12 – 6 = 6\) giờ. (Đúng với đề bài)
• Trong 1 giờ: Đội 1 làm được \(1/6\) công việc, Đội 2 làm được \(1/12\) công việc.
• Cả hai đội làm trong 1 giờ được: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \) công việc.
• Vậy, cả hai đội làm xong công việc trong \( 1 \div \frac{1}{4} = 4 \) giờ. (Đúng với đề bài)

Đáp số Bài 2:

• Đội thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 giờ.
• Đội thứ hai làm một mình xong công việc trong 12 giờ.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán này. Chú ý các bước đặt ẩn, lập phương trình, giải phương trình và kiểm tra điều kiện của nghiệm để tránh sai sót nhé!