Chào các em học sinh yêu quý của thầy!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh bất đẳng thức rất thú vị và bổ ích. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi và giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic, khả năng biến đổi đại số. Các em hãy cùng chú ý theo dõi nhé!

Đề bài:

Chứng minh rằng \(x^2+y^2+z^2+3 \ge 2(x+y+z)\) với mọi \(x,y,z\) là các số thực.

Phân tích đề bài và tìm hướng giải:

Khi gặp một bất đẳng thức cần chứng minh, một trong những phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất là đưa tất cả các hạng tử về một vế, sau đó biến đổi vế đó thành tổng các số không âm (ví dụ như tổng các bình phương). Bởi vì chúng ta biết rằng bình phương của một số thực bất kỳ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0.

Trong bài này, chúng ta thấy có các hạng tử \(x^2\), \(y^2\), \(z^2\) và \(2x\), \(2y\), \(2z\). Điều này gợi ý cho chúng ta nhớ đến hằng đẳng thức quen thuộc: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế.

Để chứng minh bất đẳng thức \(x^2+y^2+z^2+3 \ge 2(x+y+z)\), chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái. Khi chuyển vế, dấu của các hạng tử sẽ thay đổi.

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2+3 – 2(x+y+z) \ge 0\)

Bước 2: Phá ngoặc và sắp xếp lại các hạng tử.

Mở ngoặc \(2(x+y+z)\) ta được \(2x+2y+2z\). Sau đó, chúng ta sắp xếp lại các hạng tử để dễ dàng nhận ra các bình phương:

\(x^2+y^2+z^2+3 – 2x – 2y – 2z \ge 0\)

Sắp xếp lại các hạng tử theo từng biến:

\((x^2 – 2x) + (y^2 – 2y) + (z^2 – 2z) + 3 \ge 0\)

Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức để tạo ra các bình phương.

Chúng ta nhớ lại hằng đẳng thức: \((a-1)^2 = a^2 – 2a + 1\).

Quan sát các nhóm hạng tử mà chúng ta vừa sắp xếp:

• Với \(x^2 – 2x\), nếu chúng ta thêm 1, ta sẽ có \(x^2 – 2x + 1\), đây chính là \((x-1)^2\).
• Tương tự, với \(y^2 – 2y\), nếu thêm 1, ta được \(y^2 – 2y + 1 = (y-1)^2\).
• Và với \(z^2 – 2z\), nếu thêm 1, ta được \(z^2 – 2z + 1 = (z-1)^2\).

Trong bất đẳng thức của chúng ta có sẵn số 3. Rất may mắn, số 3 này có thể được tách thành \(1+1+1\), và mỗi số 1 này có thể được dùng để hoàn thành bình phương cho từng biến \(x\), \(y\), \(z\).

Vậy, ta sẽ biến đổi như sau:

\((x^2 – 2x + 1) + (y^2 – 2y + 1) + (z^2 – 2z + 1) \ge 0\)

Bước 4: Viết lại thành tổng các bình phương.

Áp dụng hằng đẳng thức, chúng ta có:

\((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \ge 0\)

Bước 5: Đánh giá kết quả.

Chúng ta biết rằng:

• Bình phương của một số thực bất kỳ luôn luôn không âm. Tức là, với mọi số thực \(A\), ta luôn có \(A^2 \ge 0\).
• Do đó, \((x-1)^2 \ge 0\) với mọi \(x\).
• \((y-1)^2 \ge 0\) với mọi \(y\).
• \((z-1)^2 \ge 0\) với mọi \(z\).

Khi đó, tổng của ba số không âm cũng sẽ là một số không âm:

\((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \ge 0\)

Điều này luôn đúng với mọi giá trị thực của \(x, y, z\).

Kết luận:

Vì biểu thức \((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 \ge 0\) luôn đúng, nên bất đẳng thức ban đầu \(x^2+y^2+z^2+3 \ge 2(x+y+z)\) cũng luôn đúng với mọi số thực \(x, y, z\).

Dấu “bằng” xảy ra khi nào?

Dấu “bằng” (tức là \(x^2+y^2+z^2+3 = 2(x+y+z)\)) xảy ra khi và chỉ khi tất cả các hạng tử trong tổng các bình phương đều bằng 0.

Điều này có nghĩa là:

\(x-1 = 0 \implies x = 1\)

\(y-1 = 0 \implies y = 1\)

\(z-1 = 0 \implies z = 1\)

Vậy, dấu “bằng” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = 1\).

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đưa về tổng các bình phương. Đây là một kỹ thuật rất quan trọng trong môn Toán lớp 9. Các em hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự nhé!

Chúc các em học tốt!