Tìm `n in NN` thỏa mãn `S(n) = n^2- 2017n+10`
Với `S(n)` là tổng các chữ số của …
Với \(S(n)\) là tổng các chữ số của \(n\)
Chào các em học sinh lớp 8!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến tổng các chữ số của một số tự nhiên. Bài toán như sau:
Tìm các số tự nhiên \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(S(n) = n^2 – 2017n + 10\), trong đó \(S(n)\) là tổng các chữ số của \(n\).
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua các bước như sau:
Bước 1: Phân tích và nhận xét mối quan hệ giữa \(n\) và \(S(n)\).
Chúng ta biết rằng, với một số tự nhiên \(n\) bất kỳ, thì \(n \ge S(n)\).
Do đó, chúng ta có bất đẳng thức sau:
\(n \ge n^2 – 2017n + 10\)
Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, ta được:
\(n^2 – 2017n – n + 10 \le 0\)
\(n^2 – 2018n + 10 \le 0\)
Bước 2: Tìm miền giá trị của \(n\).
Để tìm miền giá trị của \(n\) thỏa mãn \(n^2 – 2018n + 10 \le 0\), chúng ta sẽ xét phương trình bậc hai \(n^2 – 2018n + 10 = 0\).
Tính biệt thức \(\Delta\):
\(\Delta = b^2 – 4ac = (-2018)^2 – 4(1)(10) = 2018^2 – 40\)
Rõ ràng \(\Delta > 0\), nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2018 \pm \sqrt{2018^2 – 40}}{2}\)
Chúng ta sẽ ước lượng giá trị của \(\sqrt{2018^2 – 40}\).
Ta có: \(2017^2 = (2018-1)^2 = 2018^2 – 2 \cdot 2018 + 1 = 2018^2 – 4036 + 1 = 2018^2 – 4035\).
Vì \(2018^2 – 40 > 2017^2\), nên \(\sqrt{2018^2 – 40} > 2017\).
Do đó:
\(n_1 = \frac{2018 – \sqrt{2018^2 – 40}}{2} < \frac{2018 - 2017}{2} = \frac{1}{2}\)
\(n_2 = \frac{2018 + \sqrt{2018^2 – 40}}{2} > \frac{2018 + 2017}{2} = \frac{4035}{2} = 2017.5\)
Vì \(n\) là số tự nhiên, và bất đẳng thức \(n^2 – 2018n + 10 \le 0\) đúng khi \(n_1 \le n \le n_2\), nên các giá trị tự nhiên có thể của \(n\) là:
\(n \in \{1, 2, 3, …, 2017\}\)
Bước 3: Sử dụng tính chất chia hết.
Chúng ta biết rằng \(n \equiv S(n) \pmod{9}\).
Thay \(S(n)\) bằng biểu thức đã cho, ta có:
\(n \equiv n^2 – 2017n + 10 \pmod{9}\)
Ta có \(2017 = 2016 + 1 = 9 \cdot 224 + 1 \equiv 1 \pmod{9}\).
Và \(10 \equiv 1 \pmod{9}\).
Do đó, phương trình trở thành:
\(n \equiv n^2 – 1 \cdot n + 1 \pmod{9}\)
\(n \equiv n^2 – n + 1 \pmod{9}\)
Chuyển các hạng tử sang một vế:
\(n^2 – n – n + 1 \equiv 0 \pmod{9}\)
\(n^2 – 2n + 1 \equiv 0 \pmod{9}\)
\((n – 1)^2 \equiv 0 \pmod{9}\)
Điều này có nghĩa là \((n – 1)^2\) chia hết cho 9.
Suy ra \(n – 1\) phải chia hết cho 3.
Hay \(n \equiv 1 \pmod{3}\).
Bước 4: Kiểm tra các giá trị có thể.
Chúng ta đã biết \(n \in \{1, 2, 3, …, 2017\}\) và \(n \equiv 1 \pmod{3}\).
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(n\) có một chữ số.
Nếu \(n \in \{1, 4, 7\}\) (thỏa mãn \(n \equiv 1 \pmod{3}\)):
Nếu \(n=1\): \(S(1) = 1\).
Vế phải: \(1^2 – 2017(1) + 10 = 1 – 2017 + 10 = -2006\).
\(1 \ne -2006\), nên \(n=1\) không phải là nghiệm.
Nếu \(n=4\): \(S(4) = 4\).
Vế phải: \(4^2 – 2017(4) + 10 = 16 – 8068 + 10 = -8042\).
\(4 \ne -8042\), nên \(n=4\) không phải là nghiệm.
Nếu \(n=7\): \(S(7) = 7\).
Vế phải: \(7^2 – 2017(7) + 10 = 49 – 14119 + 10 = -14060\).
\(7 \ne -14060\), nên \(n=7\) không phải là nghiệm.
Trường hợp 2: \(n\) có nhiều hơn một chữ số.
Chúng ta có \(n^2 – 2017n + 10\) phải là một số dương (vì \(S(n) \ge 0\)).
Do đó, \(n^2 – 2017n + 10 > 0\).
Điều này mâu thuẫn với \(n^2 – 2018n + 10 \le 0\) mà chúng ta đã tìm được ở Bước 2, trừ khi \(n^2 – 2017n + 10\) bằng 0.
Tuy nhiên, nếu \(n^2 – 2017n + 10 = 0\), thì \(n\) không phải là số nguyên vì nghiệm của phương trình này không nguyên.
Ta quay lại bất đẳng thức \(n^2 – 2018n + 10 \le 0\).
Xét trường hợp \(n \ge 2018\).
Khi đó, \(n – 2018 \ge 0\).
Và \(n^2 – 2018n + 10 = n(n – 2018) + 10\).
Nếu \(n \ge 2018\), thì \(n(n – 2018) \ge 0\).
Do đó, \(n^2 – 2018n + 10 \ge 10\).
Điều này có nghĩa là với \(n \ge 2018\), bất đẳng thức \(n^2 – 2018n + 10 \le 0\) không thể xảy ra.
Vậy, chúng ta chỉ cần xét các giá trị \(n\) trong khoảng từ 1 đến 2017 thỏa mãn \(n \equiv 1 \pmod{3}\).
Hãy xem xét lại phương trình gốc: \(S(n) = n^2 – 2017n + 10\).
Nếu \(n\) là một số lớn, \(n^2 – 2017n + 10\) sẽ tăng rất nhanh, trong khi \(S(n)\) chỉ tăng rất chậm.
Cụ thể, nếu \(n\) có \(k\) chữ số, thì \(S(n) \le 9k\).
Ta biết \(10^{k-1} \le n < 10^k\).
Nếu \(n \ge 1000\) (có ít nhất 4 chữ số):
Thì \(n^2 – 2017n + 10\) sẽ có giá trị lớn hơn rất nhiều so với \(S(n)\).
Ví dụ, với \(n = 1000\):
Vế phải: \(1000^2 – 2017(1000) + 10 = 1000000 – 2017000 + 10 = -1016990\).
\(S(1000) = 1\). Rõ ràng không bằng.
Hãy xem xét \(n\) nhỏ hơn.
Ta đã loại bỏ các số \(n\) có một chữ số.
Xét \(n\) có hai chữ số.
Ta có \(n \in \{10, 13, 16, …, 2017\}\) và \(n \le 2017\).
Nếu \(n = 100\) (thỏa mãn \(n \equiv 1 \pmod{3}\), nhưng nằm ngoài khoảng 1-2017).
Vế phải: \(100^2 – 2017(100) + 10 = 10000 – 201700 + 10 = -191690\).
\(S(100) = 1\).
Chúng ta thấy rằng với \(n\) càng lớn, hiệu \(n^2 – 2017n + 10\) sẽ ngày càng âm hơn.
Hãy thử kiểm tra một số giá trị gần biên \(n=2017\).
Nếu \(n = 2017\): \(S(2017) = 2+0+1+7 = 10\).
Vế phải: \(2017^2 – 2017(2017) + 10 = 10\).
\(S(2017) = 10\) và \(n^2 – 2017n + 10 = 10\).
Vậy \(n = 2017\) là một nghiệm.
Ta kiểm tra xem \(n=2017\) có thỏa mãn \(n \equiv 1 \pmod{3}\) không.
\(2017 = 3 \cdot 672 + 1\). Nên \(2017 \equiv 1 \pmod{3}\).
Bước 5: Khẳng định lại.
Chúng ta đã chứng minh được rằng nếu có nghiệm thì \(n \le 2017\) và \(n \equiv 1 \pmod{3}\).
Ta thấy rằng với \(n=2017\) thì \(S(n) = 10\) và \(n^2 – 2017n + 10 = 2017^2 – 2017(2017) + 10 = 10\).
Vậy \(n=2017\) là nghiệm duy nhất.
Kết luận:
Giá trị của \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(S(n) = n^2 – 2017n + 10\) là \(n = 2017\).
Các em có câu hỏi gì không?
Đáp án:
⇒ \(n = 2017\)
Giải thích các bước giải:
Vì \(S(n) > 0\) nên:
\(n^2 – 2017n + 10 > 0\)
Ta luôn có tính chất:
\(n \equiv S(n) \pmod 9\)
⇒ Thay \(S(n) = n^2 – 2017n + 10\) vào đồng dư thức trên:
\(n \equiv n^2 – 2017n + 10 \pmod 9\)
\(n^2 – 2018n + 10 \equiv 0 \pmod 9\)
Vì \(2018 \equiv 2 \pmod 9\) và \(10 \equiv 1 \pmod 9\):
\(n^2 – 2n + 1 \equiv 0 \pmod 9\)
\((n – 1)^2 \equiv 0 \pmod 9\)
\(\Rightarrow n – 1 \equiv 0 \pmod 3\)
\(\Rightarrow n = 3k + 1 \quad (k \in \mathbb{N})\)
Mặt khác, tổng các chữ số của một số luôn nhỏ hơn hoặc bằng chính nó:
\(S(n) \le n\)
\(n^2 – 2017n + 10 \le n\)
\(n^2 – 2018n + 10 \le 0\)
\(n(n – 2018) \le -10\)
\(\Rightarrow n < 2018\)
⇒ Kết hợp với điều kiện ban đầu \(n^2 – 2017n + 10 > 0\):
\(n(n – 2017) > -10\)
\(\Rightarrow n \ge 2017\)
Từ các khoảng đánh giá trên, ta có:
\(2017 \le n < 2018\)
\(\Rightarrow n = 2017\)
Thử lại với \(n = 2017\):
⇒ \(S(2017) = 2 + 0 + 1 + 7 = 10\)
⇒ \(2017^2 – 2017 \cdot 2017 + 10 = 10\)
\(\rightarrow\) Thỏa mãn
⇒ \(n = 2017\)
#muzzas#
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Với mọi giá trị của \(n\) ta có \(S(n) <= n\)
Do đó: \(n^2 – 2017n + 10 <= n\)
\(=> n^2 – 2018n <= -10\)
\(=> n(n – 2018) <= -10\)
Với \(n >= 2018\) thì \(n(n – 2018) >= 0 > -10\)
Do đó \(n <= 2017\)
Với \(n = 10\) ta có: \(0 = 10\) (vô lí)
Do đó \(1 <= n <= 2017\)
\(TH1 : 1 <= n <= 2016\)
Khi đó: \(n – 2017 <= -1\)
\(=> S(n) = n^2 – 2017n + 10 = n(n – 2017) + 10 <= -1n + 10 = 10 – n\)
Lại có: Với \(n > 1\) thì \(S(n) >= 1\)
\(=> 1 <= 10 – n\)
\(=> n <= 9\)
Mà với \(1 <= n <= 9\) thì \(S(n) = n\)
\(=> n = n^2 – 2017n + 10\)
\(=> n^2 – 2018n + 10 = 0\)
Mà phương trình này vô nghiệm nên không tồn tại \(1 <= n <= 2016\)
Xét \(n = 2017\) khi đó: \(S(n) = 2 + 0 + 1 + 7 = 10\)
\(n^2 – 2017n + 10 = 2017^2 – 2017 . 2017 + 10 = 10\)
\(=> S(n) = n^2 – 2017n + 10\)
Do đó \(n = 2017\) là giá trị cần tìm
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment