Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm nghiệm nguyên \(x, y\) khá thú vị, đòi hỏi sự suy luận và biến đổi linh hoạt. Bài toán như sau:

Tìm \(x,y \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn:

1. \(11x^2 – xy – y^2 = 9\)

2. \(x^2 – 3xy + y^2\) là số nguyên tố

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích và Định hướng giải:

Bài toán này cho chúng ta hai điều kiện. Điều kiện thứ nhất là một phương trình bậc hai hai ẩn, điều kiện thứ hai là một biểu thức phải có giá trị là số nguyên tố. Đối với các bài toán tìm nghiệm nguyên, chúng ta thường tìm cách phân tích nhân tử, sử dụng tính chất chia hết, hoặc giới hạn miền giá trị của các biến.

Đặt \(P = x^2 – 3xy + y^2\). Theo đề bài, \(P\) là số nguyên tố. Điều này có nghĩa là \(P\) phải là một số nguyên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó.

Bước 1: Xét các trường hợp đặc biệt cho \(x\) hoặc \(y\)

Nếu \(x=0\), thay vào phương trình thứ nhất ta có: \(11(0)^2 – (0)y – y^2 = 9 \Rightarrow -y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = -9\). Phương trình này không có nghiệm nguyên \(y\).

Nếu \(y=0\), thay vào phương trình thứ nhất ta có: \(11x^2 – x(0) – (0)^2 = 9 \Rightarrow 11x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{11}\). Phương trình này không có nghiệm nguyên \(x\).

Vậy, ta biết chắc rằng \(x \neq 0\) và \(y \neq 0\).

Bước 2: Tìm mối liên hệ giữa hai biểu thức

Ta có hai biểu thức:

\(E_1: 11x^2 – xy – y^2 = 9\) (1)

\(E_2: x^2 – 3xy + y^2 = P\) (2)

Cả hai biểu thức đều là các dạng toàn phương. Một phương pháp hiệu quả cho dạng bài này là thử biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại) dưới dạng tỉ lệ, tức là \(y = kx\) với \(k\) là một số hữu tỉ.

Thay \(y=kx\) vào phương trình (1):

\(11x^2 – x(kx) – (kx)^2 = 9\)
\(11x^2 – kx^2 – k^2x^2 = 9\)
\(x^2(11 – k – k^2) = 9\) (3)

Thay \(y=kx\) vào biểu thức (2) để tính \(P\):

\(P = x^2 – 3x(kx) + (kx)^2\)
\(P = x^2 – 3kx^2 + k^2x^2\)
\(P = x^2(1 – 3k + k^2)\) (4)

Vì \(x, y \in \mathbb{Z}\) và \(x \ne 0\), từ \(y=kx\), ta suy ra \(k = \frac{y}{x}\) là một số hữu tỉ. Để \(k\) là một số nguyên, \(x\) phải là ước của \(y\). Để \(P\) là một số nguyên tố, từ (4) ta thấy \(x^2\) phải là ước của \(P\).

Bước 3: Suy luận từ tính chất số nguyên tố

Từ (3), vì \(x \in \mathbb{Z}\), thì \(x^2\) phải là một số chính phương. Đồng thời, \(x^2\) phải là ước của 9. Do đó, các giá trị có thể của \(x^2\) là 1 hoặc 9.

Từ (4), \(P = x^2(1 – 3k + k^2)\). Vì \(P\) là số nguyên tố, nó chỉ có các ước dương là 1 và chính nó. Do đó, \(x^2\) phải là một trong các ước của \(P\).

Kết hợp hai điều này:

• Nếu \(x^2 = 9\), thì 9 phải là ước của \(P\). Điều này chỉ xảy ra nếu \(P=9\). Nhưng 9 không phải là số nguyên tố. Vậy \(x^2 \ne 9\).
• Nếu \(x^2 = 1\), thì 1 là ước của \(P\), điều này luôn đúng.

Vậy ta kết luận rằng \(x^2 = 1\).

Khi \(x^2=1\), thì \(x=1\) hoặc \(x=-1\).

Bước 4: Giải tìm \(k\) và \(y\)

Với \(x^2 = 1\), thay vào phương trình (3):

\(1(11 – k – k^2) = 9\)
\(11 – k – k^2 = 9\)
\(-k^2 – k + 2 = 0\)
\(k^2 + k – 2 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai theo \(k\). Ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm:

\((k+2)(k-1) = 0\)

Vậy, ta có hai giá trị có thể của \(k\): \(k=1\) hoặc \(k=-2\).

Bây giờ, ta xét từng trường hợp của \(x\) và \(k\) để tìm \(y\) và kiểm tra điều kiện \(P\) là số nguyên tố.

Trường hợp 1: \(k=1\)

Vì \(k=\frac{y}{x}\), ta có \(\frac{y}{x} = 1 \Rightarrow y=x\).

Nếu \(x=1\), thì \(y=1\).

Tính \(P = x^2 – 3xy + y^2 = (1)^2 – 3(1)(1) + (1)^2 = 1 – 3 + 1 = -1\).
\(-1\) không phải là số nguyên tố (số nguyên tố phải lớn hơn 1). Vậy cặp \((1,1)\) không phải là nghiệm.

Nếu \(x=-1\), thì \(y=-1\).

Tính \(P = x^2 – 3xy + y^2 = (-1)^2 – 3(-1)(-1) + (-1)^2 = 1 – 3 + 1 = -1\).
\(-1\) không phải là số nguyên tố. Vậy cặp \((-1,-1)\) không phải là nghiệm.

Trường hợp 2: \(k=-2\)

Vì \(k=\frac{y}{x}\), ta có \(\frac{y}{x} = -2 \Rightarrow y=-2x\).

Nếu \(x=1\), thì \(y=-2(1) = -2\).

Kiểm tra với phương trình (1): \(11(1)^2 – (1)(-2) – (-2)^2 = 11 + 2 – 4 = 9\). (Thỏa mãn)

Tính \(P = x^2 – 3xy + y^2 = (1)^2 – 3(1)(-2) + (-2)^2 = 1 + 6 + 4 = 11\).
\(11\) là một số nguyên tố. Vậy cặp \((1,-2)\) là một nghiệm của bài toán.

Nếu \(x=-1\), thì \(y=-2(-1) = 2\).

Kiểm tra với phương trình (1): \(11(-1)^2 – (-1)(2) – (2)^2 = 11 + 2 – 4 = 9\). (Thỏa mãn)

Tính \(P = x^2 – 3xy + y^2 = (-1)^2 – 3(-1)(2) + (2)^2 = 1 + 6 + 4 = 11\).
\(11\) là một số nguyên tố. Vậy cặp \((-1,2)\) là một nghiệm của bài toán.

Kết luận:

Vậy, các cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là \((1,-2)\) và \((-1,2)\).

Chúc các em học tốt môn Toán!

Thầy/Cô giáo Toán lớp 8.

—

Lưu ý thêm cho các em:
Khi chúng ta đặt \(y=kx\), chúng ta đã ngầm định rằng \(x \ne 0\). Điều này đã được kiểm tra ở Bước 1. Ngoài ra, việc \(k\) phải là số nguyên (tức là \(y\) phải là bội của \(x\)) là một hệ quả từ việc \(x^2=1\) và \(P\) là số nguyên tố. Cụ thể, nếu \(k\) là một số hữu tỉ không phải số nguyên (ví dụ \(k=p/q\) với \(q \ne \pm 1\) và \(p, q\) nguyên tố cùng nhau), thì \(P = x^2 \frac{q^2 – 3pq + p^2}{q^2}\). Để \(P\) là số nguyên, \(q^2\) phải là ước của \(x^2\), nghĩa là \(q\) phải là ước của \(x\). Nếu \(x = mq\), thì \(P = (mq)^2 \frac{q^2 – 3pq + p^2}{q^2} = m^2(q^2 – 3pq + p^2)\). Nếu \(m \ne \pm 1\), thì \(P\) sẽ có ít nhất 4 ước (1, \(m\), \(m^2\), P) và \(P\) sẽ không phải là số nguyên tố trừ khi \(m^2=P\) và \(q^2-3pq+p^2=1\) (rất hiếm khi xảy ra). Tuy nhiên, cách chúng ta suy luận \(x^2=1\) từ việc \(x^2\) là ước của 9 và \(x^2\) là ước của \(P\) đã giúp chúng ta đi thẳng đến kết quả \(k\) là số nguyên, vì \(y/x\) phải là một số nguyên để \(11-k-k^2\) là một số nguyên (vì \(x^2=1\), suy ra \(11-k-k^2 = 9\), mà 9 là số nguyên).