Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán thú vị liên quan đến số nguyên tố nhé. Đây là một dạng bài giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic và khả năng phân tích.

Đề bài: Cho hai số \(8n-1\) và \(8n+1\) với \(n\) là số nguyên tố. Hỏi nếu có một số là số nguyên tố thì số còn lại là số gì?

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp của \(n\) là số nguyên tố.

Bước 1: Phân tích và thử với các giá trị nhỏ của \(n\).

Chúng ta biết rằng \(n\) là số nguyên tố. Các số nguyên tố đầu tiên là \(2, 3, 5, 7, \dots\).

• Trường hợp 1: Nếu \(n=2\) (số nguyên tố nhỏ nhất)

  Ta có:

  \(8n-1 = 8(2)-1 = 16-1 = 15\)

  \(8n+1 = 8(2)+1 = 16+1 = 17\)

  Ở đây, số \(15\) là hợp số (vì \(15 = 3 \times 5\)).

  Số \(17\) là số nguyên tố.

  Nếu \(17\) là số nguyên tố thì \(15\) là hợp số.

• Trường hợp 2: Nếu \(n=3\) (số nguyên tố tiếp theo)

  Ta có:

  \(8n-1 = 8(3)-1 = 24-1 = 23\)

  \(8n+1 = 8(3)+1 = 24+1 = 25\)

  Ở đây, số \(23\) là số nguyên tố.

  Số \(25\) là hợp số (vì \(25 = 5 \times 5\)).

  Nếu \(23\) là số nguyên tố thì \(25\) là hợp số.

• Trường hợp 3: Nếu \(n=5\)

  Ta có:

  \(8n-1 = 8(5)-1 = 40-1 = 39\)

  \(8n+1 = 8(5)+1 = 40+1 = 41\)

  Ở đây, số \(39\) là hợp số (vì \(39 = 3 \times 13\)).

  Số \(41\) là số nguyên tố.

  Nếu \(41\) là số nguyên tố thì \(39\) là hợp số.

Qua các ví dụ trên, chúng ta thấy có vẻ như nếu một số là số nguyên tố thì số còn lại là hợp số. Hãy cùng chứng minh điều này một cách tổng quát nhé!

Bước 2: Sử dụng tính chất chia hết cho 3.

Chúng ta xét ba số tự nhiên liên tiếp: \(8n-1\), \(8n\), \(8n+1\).

Trong ba số tự nhiên liên tiếp, chắc chắn sẽ có một và chỉ một số chia hết cho 3.

Chúng ta có hai trường hợp cho số nguyên tố \(n\):

• Trường hợp a: \(n=3\)

  Nếu \(n=3\), ta đã tính ở trên:

  \(8n-1 = 23\) (là số nguyên tố)

  \(8n+1 = 25\) (là hợp số vì \(25 = 5 \times 5\), chia hết cho 5)

  Trong trường hợp này, nếu \(8n-1\) là số nguyên tố thì \(8n+1\) là hợp số.

• Trường hợp b: \(n \ne 3\)

  Vì \(n\) là số nguyên tố và \(n \ne 3\), suy ra \(n\) không chia hết cho 3.

  Mà \(8\) cũng không chia hết cho 3.

  Vậy tích \(8n\) cũng sẽ không chia hết cho 3 (vì 3 là số nguyên tố).

  Vì \(8n\) không chia hết cho 3, nên trong ba số liên tiếp \(8n-1\), \(8n\), \(8n+1\), thì một trong hai số còn lại là \(8n-1\) hoặc \(8n+1\) phải chia hết cho 3.

  Để rõ hơn, chúng ta xét số dư của \(n\) khi chia cho 3:

  • Nếu \(n\) chia 3 dư 1 (tức là \(n \equiv 1 \pmod{3}\)):

    \(8n-1 \equiv 8(1)-1 \equiv 7 \equiv 1 \pmod{3}\) (không chia hết cho 3)

    \(8n+1 \equiv 8(1)+1 \equiv 9 \equiv 0 \pmod{3}\) (chia hết cho 3)

  • Nếu \(n\) chia 3 dư 2 (tức là \(n \equiv 2 \pmod{3}\)):

    \(8n-1 \equiv 8(2)-1 \equiv 16-1 \equiv 15 \equiv 0 \pmod{3}\) (chia hết cho 3)

    \(8n+1 \equiv 8(2)+1 \equiv 16+1 \equiv 17 \equiv 2 \pmod{3}\) (không chia hết cho 3)

  Như vậy, khi \(n \ne 3\), chắc chắn có một trong hai số \(8n-1\) hoặc \(8n+1\) chia hết cho 3.

  Bây giờ, chúng ta kiểm tra giá trị của các số này. Vì \(n\) là số nguyên tố nhỏ nhất là 2, nên:

  • Với \(n=2\): \(8n-1 = 15 > 3\)

    Với \(n=2\): \(8n+1 = 17 > 3\)

  Nói chung, với mọi số nguyên tố \(n\), thì \(n \ge 2\). Do đó:

  \(8n-1 \ge 8(2)-1 = 15 > 3\)

  \(8n+1 \ge 8(2)+1 = 17 > 3\)

  Vì vậy, cả \(8n-1\) và \(8n+1\) đều lớn hơn 3.

  Nếu một số lớn hơn 3 mà lại chia hết cho 3, thì số đó chắc chắn là một hợp số (ví dụ: \(6, 9, 12, \dots\)).

  Vậy, nếu \(n \ne 3\), thì trong hai số \(8n-1\) và \(8n+1\), sẽ có một số chia hết cho 3 và lớn hơn 3. Số đó sẽ là hợp số.

  Nếu đề bài nói “có một số là số nguyên tố”, thì số còn lại, vì nó chia hết cho 3 và lớn hơn 3, nên sẽ là hợp số.

Kết luận chung:

Qua cả hai trường hợp (\(n=3\) và \(n \ne 3\)), chúng ta đều thấy rằng nếu một trong hai số \(8n-1\) hoặc \(8n+1\) là số nguyên tố, thì số còn lại phải là hợp số.

Vậy, câu trả lời là: Nếu có một số là số nguyên tố thì số còn lại là số hợp số.

Các em có thấy bài toán này thú vị không? Nó đòi hỏi chúng ta phải suy luận một cách logic và áp dụng các kiến thức về số nguyên tố và tính chất chia hết. Chúc các em học tốt!