Bài toán: Hai địa điểm A và B cách nhau 120km. Một xe đạp và xe máy khởi hành cùng lúc từ A đến B, sau 3h thì khoảng cách giữa hai xe là 30km. Tìm vận tốc của hai xe, biết thời gian để đi hết quãng đường AB của xe đạp nhiều hơn xe máy 2h.

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và cần tìm.

1. Phân tích đề bài và đặt ẩn:

* Khoảng cách AB: \(d = 120\) km.
* Thời gian khởi hành: Cùng lúc.
* Sau 3 giờ: Khoảng cách giữa hai xe là 30 km.
* Quan hệ thời gian: Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB nhiều hơn xe máy là 2 giờ.

Chúng ta cần tìm vận tốc của xe đạp và xe máy.

Gọi:
* \(v_1\) là vận tốc của xe đạp (km/h).
* \(v_2\) là vận tốc của xe máy (km/h).

Vì xe máy thường đi nhanh hơn xe đạp, nên ta giả sử \(v_2 > v_1\).

Gọi:
* \(t_1\) là thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB (giờ).
* \(t_2\) là thời gian xe máy đi hết quãng đường AB (giờ).

Theo đề bài, ta có: \(t_1 = t_2 + 2\) (vì xe đạp đi lâu hơn).

2. Xây dựng các phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Chúng ta có các công thức cơ bản: quãng đường = vận tốc × thời gian.

* Với xe đạp: \(d = v_1 \times t_1 \Rightarrow 120 = v_1 \times t_1\) (Phương trình 1)
* Với xe máy: \(d = v_2 \times t_2 \Rightarrow 120 = v_2 \times t_2\) (Phương trình 2)

Bây giờ, chúng ta xét tình huống sau 3 giờ.
Sau 3 giờ, quãng đường xe đạp đi được là: \(S_1 = v_1 \times 3\) (km).
Sau 3 giờ, quãng đường xe máy đi được là: \(S_2 = v_2 \times 3\) (km).

Vì cả hai xe cùng khởi hành từ A đến B, và chúng ta giả sử \(v_2 > v_1\), nên sau 3 giờ, xe máy sẽ đi được quãng đường xa hơn xe đạp.
Khoảng cách giữa hai xe sau 3 giờ là 30 km. Điều này có nghĩa là:
\(S_2 – S_1 = 30\)
\(3v_2 – 3v_1 = 30\)
Chia cả hai vế cho 3, ta được:
\(v_2 – v_1 = 10\) (Phương trình 3)

Chúng ta có hệ phương trình với các ẩn \(v_1, v_2, t_1, t_2\). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tìm vận tốc, nên chúng ta cần đưa về phương trình chỉ chứa \(v_1\) và \(v_2\).

Từ Phương trình 1, ta có \(t_1 = \frac{120}{v_1}\).
Từ Phương trình 2, ta có \(t_2 = \frac{120}{v_2}\).

Thay \(t_1\) và \(t_2\) vào mối quan hệ thời gian \(t_1 = t_2 + 2\):
\(\frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_2} + 2\)

Chúng ta đã có Phương trình 3: \(v_2 – v_1 = 10\), suy ra \(v_2 = v_1 + 10\).

Bây giờ, chúng ta thay \(v_2\) vào phương trình thời gian:
\(\frac{120}{v_1} = \frac{120}{v_1 + 10} + 2\)

3. Giải hệ phương trình:

Chúng ta cần giải phương trình trên để tìm \(v_1\).
Quy đồng mẫu số để làm mất mẫu:
Nhân cả hai vế với \(v_1(v_1 + 10)\):
\(120(v_1 + 10) = 120v_1 + 2v_1(v_1 + 10)\)
\(120v_1 + 1200 = 120v_1 + 2v_1^2 + 20v_1\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
\(2v_1^2 + 20v_1 – 1200 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa phương trình bậc hai:
\(v_1^2 + 10v_1 – 600 = 0\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Thầy sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử.

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -600 và tổng bằng 10.
Hai số đó là 30 và -20.
\(v_1^2 + 30v_1 – 20v_1 – 600 = 0\)
\(v_1(v_1 + 30) – 20(v_1 + 30) = 0\)
\((v_1 – 20)(v_1 + 30) = 0\)

Do đó, ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \(v_1 – 20 = 0 \Rightarrow v_1 = 20\)
Trường hợp 2: \(v_1 + 30 = 0 \Rightarrow v_1 = -30\)

Vì vận tốc không thể âm, nên ta loại trường hợp \(v_1 = -30\).
Vậy, vận tốc của xe đạp là \(v_1 = 20\) km/h.

Bây giờ, chúng ta tìm vận tốc của xe máy \(v_2\) bằng cách sử dụng Phương trình 3:
\(v_2 = v_1 + 10\)
\(v_2 = 20 + 10\)
\(v_2 = 30\) km/h.

4. Kiểm tra lại kết quả:

* Vận tốc xe đạp: 20 km/h.
* Vận tốc xe máy: 30 km/h.

Kiểm tra điều kiện sau 3 giờ:
Quãng đường xe đạp đi được sau 3 giờ: \(S_1 = 20 \times 3 = 60\) km.
Quãng đường xe máy đi được sau 3 giờ: \(S_2 = 30 \times 3 = 90\) km.
Khoảng cách giữa hai xe: \(S_2 – S_1 = 90 – 60 = 30\) km. (Đúng với đề bài)

Kiểm tra điều kiện thời gian đi hết quãng đường AB:
Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB: \(t_1 = \frac{120}{20} = 6\) giờ.
Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB: \(t_2 = \frac{120}{30} = 4\) giờ.
Thời gian xe đạp nhiều hơn xe máy: \(t_1 – t_2 = 6 – 4 = 2\) giờ. (Đúng với đề bài)

5. Kết luận:

Vậy, vận tốc của xe đạp là 20 km/h và vận tốc của xe máy là 30 km/h.

Các em thấy đó, với một bài toán chuyển động, việc phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn hợp lý và xây dựng các phương trình chính xác là chìa khóa để giải quyết bài toán. Chúc các em học tốt!