Chào các em! Hôm nay, thầy sẽ cùng các em ôn tập lại cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Phương pháp này rất hiệu quả khi các hệ số của một ẩn trong hai phương trình là đối nhau hoặc có thể biến đổi để trở thành đối nhau. Chúng ta cùng bắt đầu với các bài tập nhé!

Bài toán: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

a)

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + y = 3 \quad &(1) \\
x – y = 6 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Phân tích: Trong hệ phương trình này, ta thấy hệ số của ‘y’ ở phương trình (1) là 1 và ở phương trình (2) là -1. Đây là hai số đối nhau. Do đó, ta có thể cộng trực tiếp hai phương trình lại để khử ẩn ‘y’.

Lời giải:

Cộng phương trình (1) và phương trình (2) vế theo vế:

\((2x + y) + (x – y) = 3 + 6\)

\(2x + y + x – y = 9\)

\(3x = 9\)

Chia cả hai vế cho 3, ta được:

\(x = \frac{9}{3}\)

\(x = 3\)

Bây giờ, ta sẽ thay giá trị của \(x = 3\) vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm ‘y’. Thầy chọn thay vào phương trình (2) vì nó có vẻ đơn giản hơn:

\(3 – y = 6\)

Chuyển 3 sang vế phải:

\(-y = 6 – 3\)

\(-y = 3\)

Nhân cả hai vế với -1:

\(y = -3\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (3, -3)\).

b)

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + 2y = 9 \quad &(1) \\
2x – 3y = 4 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Phân tích: Ở hệ này, hệ số của ‘x’ ở cả hai phương trình đều là 2. Chúng không phải là số đối nhau, nhưng chúng giống nhau. Để khử ẩn ‘x’, ta có thể trừ vế theo vế của hai phương trình.

Lời giải:

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) vế theo vế (hoặc ngược lại, kết quả sẽ tương tự nhưng có thể xuất hiện dấu âm):

\((2x + 2y) – (2x – 3y) = 9 – 4\)

\(2x + 2y – 2x + 3y = 5\)

\(5y = 5\)

Chia cả hai vế cho 5, ta được:

\(y = \frac{5}{5}\)

\(y = 1\)

Tiếp theo, thay giá trị \(y = 1\) vào một trong hai phương trình ban đầu. Thầy chọn thay vào phương trình (1):

\(2x + 2(1) = 9\)

\(2x + 2 = 9\)

Chuyển 2 sang vế phải:

\(2x = 9 – 2\)

\(2x = 7\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x = \frac{7}{2}\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (\frac{7}{2}, 1)\).

c)

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
3x – y = 5 \quad &(1) \\
5x + 2y = 23 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Phân tích: Ở hệ này, hệ số của ‘x’ lần lượt là 3 và 5, hệ số của ‘y’ lần lượt là -1 và 2. Để sử dụng phương pháp cộng đại số, ta cần làm cho hệ số của một trong hai ẩn đối nhau hoặc giống nhau. Cách dễ nhất là làm cho hệ số của ‘y’ đối nhau. Ta có thể nhân phương trình (1) với 2.

Lời giải:

Nhân phương trình (1) với 2:

\(2 \times (3x – y) = 2 \times 5\)

\(6x – 2y = 10 \quad &(1′)\)

Bây giờ, ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
6x – 2y = 10 \quad &(1′) \\
5x + 2y = 23 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Ta thấy hệ số của ‘y’ ở phương trình (1′) là -2 và ở phương trình (2) là 2. Chúng là hai số đối nhau. Cộng phương trình (1′) và phương trình (2) vế theo vế:

\((6x – 2y) + (5x + 2y) = 10 + 23\)

\(6x – 2y + 5x + 2y = 33\)

\(11x = 33\)

Chia cả hai vế cho 11, ta được:

\(x = \frac{33}{11}\)

\(x = 3\)

Thay giá trị \(x = 3\) vào một trong hai phương trình ban đầu. Thầy chọn thay vào phương trình (1):

\(3(3) – y = 5\)

\(9 – y = 5\)

Chuyển 9 sang vế phải:

\(-y = 5 – 9\)

\(-y = -4\)

Nhân cả hai vế với -1:

\(y = 4\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (3, 4)\).

d)

Hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
4x + 3y = 15 \quad &(1) \\
3x + 2y = 10 \quad &(2)
\end{cases}
\]

Phân tích: Ở hệ này, hệ số của ‘x’ là 4 và 3, hệ số của ‘y’ là 3 và 2. Để sử dụng phương pháp cộng đại số, ta cần làm cho hệ số của một ẩn đối nhau hoặc giống nhau. Ta có thể làm cho hệ số của ‘x’ hoặc ‘y’ giống nhau bằng cách nhân các phương trình với các số thích hợp. Ví dụ, để khử ‘x’, ta có thể nhân phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với 4. Hoặc để khử ‘y’, ta có thể nhân phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với 3.

Chúng ta sẽ chọn khử ‘y’ bằng cách nhân phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với 3 để hệ số của ‘y’ là 6 và -6 (hoặc 6 và 6 rồi trừ).

Lời giải:

Nhân phương trình (1) với 2:

\(2 \times (4x + 3y) = 2 \times 15\)

\(8x + 6y = 30 \quad &(1”)\)

Nhân phương trình (2) với 3:

\(3 \times (3x + 2y) = 3 \times 10\)

\(9x + 6y = 30 \quad &(2”)\)

Bây giờ, ta có hệ phương trình mới:

\[
\begin{cases}
8x + 6y = 30 \quad &(1”) \\
9x + 6y = 30 \quad &(2”)
\end{cases}
\]

Ta thấy hệ số của ‘y’ ở cả hai phương trình đều là 6. Để khử ‘y’, ta trừ vế theo vế. Lấy phương trình (2”) trừ phương trình (1”):

\((9x + 6y) – (8x + 6y) = 30 – 30\)

\(9x + 6y – 8x – 6y = 0\)

\(x = 0\)

Thay giá trị \(x = 0\) vào một trong hai phương trình ban đầu. Thầy chọn thay vào phương trình (1):

\(4(0) + 3y = 15\)

\(0 + 3y = 15\)

\(3y = 15\)

Chia cả hai vế cho 3:

\(y = \frac{15}{3}\)

\(y = 5\)

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (0, 5)\).

Nhận xét: Các em thấy đấy, phương pháp cộng đại số giúp chúng ta giải hệ phương trình một cách nhanh chóng nếu chúng ta biết cách biến đổi các hệ số cho phù hợp. Quan trọng là phải xác định được ẩn nào có thể khử được và thực hiện phép nhân (nếu cần) một cách cẩn thận. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để thành thạo phương pháp này nhé!