Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán liên quan đến biểu thức đại số có chứa căn thức. Đây là dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho biểu thức \( P = \frac{2 – 5\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \). Tìm \( m \) để có \( x \) thỏa mãn \( P(\sqrt{x} + 3) = m \).

Chúng ta cùng nhau đi vào phân tích và giải bài này nhé!

Bước 1: Phân tích và xác định điều kiện của biểu thức

Để biểu thức \( P \) có nghĩa, ta cần có:

• Trong căn thức: \( x \ge 0 \)
• Mẫu số khác 0: \( \sqrt{x} + 3 \ne 0 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \), nên \( \sqrt{x} + 3 \ge 3 \). Do đó, mẫu số luôn luôn khác 0 với mọi \( x \ge 0 \).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức \( P \) là \( x \ge 0 \).

Bước 2: Rút gọn biểu thức đã cho

Ta có phương trình cần tìm \( m \):

\( P(\sqrt{x} + 3) = m \)

Thế biểu thức \( P \) vào phương trình:

\( \left( \frac{2 – 5\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \right) (\sqrt{x} + 3) = m \)

Quan sát, chúng ta thấy có thừa số \( (\sqrt{x} + 3) \) ở cả tử số (sau khi thay \( P \)) và mẫu số, nên chúng ta có thể rút gọn:

\( 2 – 5\sqrt{x} = m \)

Đây là biểu thức sau khi đã được rút gọn.

Bước 3: Tìm miền giá trị của \( m \)

Chúng ta cần tìm \( m \) sao cho có \( x \) thỏa mãn \( 2 – 5\sqrt{x} = m \).
Như đã phân tích ở Bước 1, điều kiện của \( x \) là \( x \ge 0 \).
Từ \( x \ge 0 \), ta suy ra:

\( \sqrt{x} \ge 0 \)

Để tìm miền giá trị của \( m \), chúng ta sẽ biến đổi bất đẳng thức trên:

Nhân cả hai vế với \( -5 \). Lưu ý khi nhân với số âm, chiều của bất đẳng thức phải đổi chiều:

\( -5\sqrt{x} \le 0 \)

Cộng 2 vào cả hai vế của bất đẳng thức:

\( 2 – 5\sqrt{x} \le 2 + 0 \)

\( 2 – 5\sqrt{x} \le 2 \)

Vì \( m = 2 – 5\sqrt{x} \), nên ta có:

\( m \le 2 \)

Điều này có nghĩa là, để tồn tại giá trị \( x \) thỏa mãn phương trình đã cho, \( m \) phải nhận các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 2. Ngược lại, với bất kỳ giá trị \( m \le 2 \), ta luôn có thể tìm được \( \sqrt{x} = \frac{2-m}{5} \). Vì \( m \le 2 \), nên \( 2-m \ge 0 \), suy ra \( \frac{2-m}{5} \ge 0 \), điều này hoàn toàn hợp lệ cho \( \sqrt{x} \). Từ đó, ta tìm được \( x = \left(\frac{2-m}{5}\right)^2 \).

Bước 4: Kết luận

Vậy, để có \( x \) thỏa mãn \( P(\sqrt{x} + 3) = m \), giá trị của \( m \) phải thỏa mãn điều kiện \( \mathbf{m \le 2} \).

Ví dụ kiểm tra:

• Nếu \( m = 2 \), thì \( 2 – 5\sqrt{x} = 2 \implies 5\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 0 \implies x = 0 \). (Thỏa mãn \( x \ge 0 \))
• Nếu \( m = -3 \), thì \( 2 – 5\sqrt{x} = -3 \implies 5\sqrt{x} = 5 \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1 \). (Thỏa mãn \( x \ge 0 \))
• Nếu \( m = 5 \) (không thỏa mãn \( m \le 2 \)), thì \( 2 – 5\sqrt{x} = 5 \implies 5\sqrt{x} = -3 \implies \sqrt{x} = -\frac{3}{5} \). Điều này vô lý vì \( \sqrt{x} \) không thể là số âm. Do đó, không có \( x \) nào thỏa mãn.

Lời kết:

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc xác định điều kiện của biến, rút gọn biểu thức và tìm miền giá trị là rất quan trọng. Đôi khi, việc đặt ẩn phụ (ví dụ \( t = \sqrt{x} \)) cũng giúp chúng ta dễ dàng hơn trong việc khảo sát miền giá trị.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!