Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. Đây là một dạng bài rất hay gặp trong các bài kiểm tra và đề thi, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về căn bậc hai và biết cách biến đổi biểu thức một cách hợp lý.

Đề bài: Cho các biểu thức:

\( A = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} \)

\( B = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} \)

Tìm \( x \) để biểu thức \( S = A \times B \) đạt giá trị lớn nhất.

—

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Để các biểu thức \( A \) và \( B \) có nghĩa, ta cần đảm bảo các điều kiện sau:

• Trong biểu thức có \( \sqrt{x} \), nên \( x \ge 0 \).
• Mẫu số của \( A \) là \( \sqrt{x}+2 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \), nên \( \sqrt{x}+2 \ge 2 > 0 \). Mẫu số này luôn khác 0.
• Mẫu số của \( B \) là \( \sqrt{x}+1 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \), nên \( \sqrt{x}+1 \ge 1 > 0 \). Mẫu số này cũng luôn khác 0.

Vậy, điều kiện xác định chung cho cả bài toán là \( x \ge 0 \).

Bước 2: Rút gọn biểu thức \( S = A \times B \).

Chúng ta có:

\( S = A \times B \)

\( S = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} \times \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1} \)

Quan sát biểu thức, các em có thể thấy nhân tử \( (\sqrt{x}+1) \) xuất hiện cả ở tử số của \( A \) và mẫu số của \( B \). Chúng ta có thể giản ước chúng đi:

\( S = \frac{\cancel{(\sqrt{x}+1)}}{\sqrt{x}+2} \times \frac{\sqrt{x}+3}{\cancel{(\sqrt{x}+1)}} \)

\( S = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} \)

Bước 3: Biến đổi biểu thức \( S \) để tìm giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị lớn nhất của \( S = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2} \), chúng ta có thể biến đổi tử số để tách ra một hằng số:

\( S = \frac{\sqrt{x}+2+1}{\sqrt{x}+2} \)

Bây giờ, chúng ta tách thành hai phân số:

\( S = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \)

\( S = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \)

Bước 4: Tìm giá trị \( x \) để \( S \) đạt giá trị lớn nhất.

Để biểu thức \( S = 1 + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \) đạt giá trị lớn nhất, thì phần \( \frac{1}{\sqrt{x}+2} \) phải đạt giá trị lớn nhất (vì số 1 là hằng số).

Để phân số \( \frac{1}{\sqrt{x}+2} \) đạt giá trị lớn nhất, với tử số là 1 (một số dương không đổi), thì mẫu số \( \sqrt{x}+2 \) phải đạt giá trị nhỏ nhất (bé nhất).

Ta có điều kiện \( x \ge 0 \). Từ đó suy ra:

• \( \sqrt{x} \ge 0 \)
• \( \sqrt{x}+2 \ge 0+2 \)
• \( \sqrt{x}+2 \ge 2 \)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của mẫu số \( \sqrt{x}+2 \) là 2.

Giá trị nhỏ nhất này đạt được khi \( \sqrt{x} = 0 \), tức là khi \( x = 0 \).

Bước 5: Tính giá trị lớn nhất của \( S \).

Khi \( x=0 \), ta có \( \sqrt{x}=0 \).

Thay \( \sqrt{x}=0 \) vào biểu thức của \( S \):

\( S = 1 + \frac{1}{0+2} \)

\( S = 1 + \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{3}{2} \)

Kết luận:

Vậy, biểu thức \( S \) đạt giá trị lớn nhất là \( \frac{3}{2} \) khi \( x = 0 \).

—

Các em nhớ nhé, khi làm dạng bài này, hãy luôn tuân thủ các bước: tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức, và biến đổi để đưa về dạng dễ xét giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). Chúc các em học tốt!