Đề bài: Tính độ dài cạnh huyền BC và số đo các góc nhọn B, C của tam giác vuông ABC, biết hai cạnh góc vuông AB = 4 cm và AC = 6 cm.

Bài giải:

Chúng ta có tam giác ABC vuông tại A.

1. Tính độ dài cạnh huyền BC:

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

\( BC^2 = 4^2 + 6^2 \)

\( BC^2 = 16 + 36 \)

\( BC^2 = 52 \)

\( BC = \sqrt{52} \)

Để rút gọn căn bậc hai, ta phân tích số 52 ra thừa số nguyên tố: \( 52 = 4 \times 13 = 2^2 \times 13 \)

\( BC = \sqrt{2^2 \times 13} = 2\sqrt{13} \)

Vậy, độ dài cạnh huyền BC là \( 2\sqrt{13} \) cm.

2. Tính số đo góc nhọn B:

Trong tam giác vuông ABC, ta có các tỉ số lượng giác của góc B như sau:

Ta có thể sử dụng tỉ số tang hoặc cosin hoặc sin.

Sử dụng tỉ số tang:

\( \tan(B) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} \)

\( \tan(B) = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)

Để tìm số đo góc B, ta sử dụng máy tính bỏ túi hoặc tra bảng lượng giác để tìm arctan của \( \frac{3}{2} \).

\( B = \arctan\left(\frac{3}{2}\right) \approx 56.31^\circ \)

Hoặc sử dụng tỉ số cosin:

\( \cos(B) = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AB}{BC} \)

\( \cos(B) = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}} \)

\( B = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\right) \approx 56.31^\circ \)

Hoặc sử dụng tỉ số sin:

\( \sin(B) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \)

\( \sin(B) = \frac{6}{2\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}} \)

\( B = \arcsin\left(\frac{3}{\sqrt{13}}\right) \approx 56.31^\circ \)

Vậy, số đo góc nhọn B xấp xỉ \( 56.31^\circ \).

3. Tính số đo góc nhọn C:

Trong một tam giác vuông, tổng ba góc bằng \( 180^\circ \). Vì tam giác ABC vuông tại A (\( A = 90^\circ \)), nên tổng hai góc nhọn B và C là:

\( B + C = 90^\circ \)

Suy ra:

\( C = 90^\circ – B \)

\( C \approx 90^\circ – 56.31^\circ \)

\( C \approx 33.69^\circ \)

Hoặc chúng ta có thể tính trực tiếp góc C bằng các tỉ số lượng giác:

Sử dụng tỉ số tang:

\( \tan(C) = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AB}{AC} \)

\( \tan(C) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)

\( C = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) \approx 33.69^\circ \)

Vậy, số đo góc nhọn C xấp xỉ \( 33.69^\circ \).

Kết luận:

Độ dài cạnh huyền BC là \( 2\sqrt{13} \) cm.

Số đo góc nhọn B xấp xỉ \( 56.31^\circ \).

Số đo góc nhọn C xấp xỉ \( 33.69^\circ \).

Các em thấy đó, với định lý Pytago và các tỉ số lượng giác, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán về tam giác vuông. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé!