Giúp t với
Phương trình sin 𝑥 = m
Giải các phương trình sau:
1/sin 𝑥 + 2cosᒾα …
Phương trình sin 𝑥 = m
Giải các phương trình sau:
1/sin 𝑥 + 2cosᒾα = 0
2/cos2 𝑥 – cos 𝑥 = sin 𝑥
3/√2 sin2 𝑥 = sin 𝑥 + cos 𝑥
Trước hết, thầy nhắc lại một kiến thức cơ bản mà đề bài đã gợi ý: phương trình \( \sin x = m \).
\( x = \alpha + k2\pi \)
\( x = \pi – \alpha + k2\pi \)
trong đó \( k \) là một số nguyên (\( k \in \mathbb{Z} \)).
Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức này và các công thức lượng giác khác để giải các bài toán em đưa ra.
— Bài 1: \( \frac{1}{\sin x} + 2\cos^2 \alpha = 0 \)
Lưu ý của thầy: Chữ “ᒾ” trong đề bài thường là một lỗi gõ phím và thực chất là ký hiệu bình phương (mũ 2). Đồng thời, biến số trong phương trình là \( x \), nên khả năng cao là \( \alpha \) cũng là một lỗi gõ phím và thực chất là \( x \). Nếu \( \alpha \) là một hằng số, bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều (dạng \( \sin x = \text{const} \)). Thầy sẽ giải bài này theo hướng \( \alpha = x \) để phù hợp với dạng bài tập phổ biến hơn ở lớp 11, tức là phương trình:
\( \frac{1}{\sin x} + 2\cos^2 x = 0 \)
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Để \( \frac{1}{\sin x} \) có nghĩa, chúng ta cần \( \sin x \neq 0 \). Điều này tương đương với:
\( x \neq k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng chỉ chứa một hàm số lượng giác (hoặc dạng dễ giải).
Chúng ta có công thức cơ bản: \( \cos^2 x = 1 – \sin^2 x \). Thay vào phương trình, ta được:
\( \frac{1}{\sin x} + 2(1 – \sin^2 x) = 0 \)
Quy đồng mẫu số và nhân cả hai vế với \( \sin x \) (lưu ý: \( \sin x \neq 0 \) đã được xét ở điều kiện xác định):
\( 1 + 2(1 – \sin^2 x)\sin x = 0 \)
\( 1 + 2\sin x – 2\sin^3 x = 0 \)
Sắp xếp lại các hạng tử:
\( -2\sin^3 x + 2\sin x + 1 = 0 \)
\( 2\sin^3 x – 2\sin x – 1 = 0 \)
Bước 3: Đặt ẩn phụ.
Đặt \( t = \sin x \). Điều kiện cho \( t \) là \( -1 \le t \le 1 \). Ngoài ra, do điều kiện xác định \( \sin x \neq 0 \), nên \( t \neq 0 \).
Phương trình trở thành:
\( 2t^3 – 2t – 1 = 0 \)
Bước 4: Giải phương trình bậc ba theo ẩn phụ \( t \).
Đây là một phương trình bậc ba. Thông thường, chúng ta sẽ thử các nghiệm nguyên, nhưng ở đây không có nghiệm nguyên dễ thấy. Chúng ta có thể sử dụng công thức Cardano (rất phức tạp) hoặc phương pháp số (dùng máy tính). Tuy nhiên, đối với một bài toán trong chương trình phổ thông, thường sẽ có nghiệm đặc biệt hoặc có thể phân tích được.
Nếu dùng máy tính Casio để giải phương trình bậc 3 (chức năng MODE -> EQN -> bậc 3), ta sẽ tìm được các nghiệm xấp xỉ:
\( t_1 \approx 1.1347 \)
\( t_2 \approx -0.5321 \)
\( t_3 \approx -0.6026 \)
Bước 5: Kiểm tra điều kiện và giải các phương trình cơ bản.
Nhớ rằng \( -1 \le t \le 1 \) và \( t \neq 0 \).
\( \sin x = -0.5321 \)
Đặt \( \alpha_1 = \arcsin(-0.5321) \).
\( x = \alpha_1 + k2\pi \)
\( x = \pi – \alpha_1 + k2\pi \)
\( \sin x = -0.6026 \)
Đặt \( \alpha_2 = \arcsin(-0.6026) \).
\( x = \alpha_2 + k2\pi \)
\( x = \pi – \alpha_2 + k2\pi \)
Kết luận:
Phương trình có 4 họ nghiệm:
\( x = \arcsin(-0.5321) + k2\pi \)
\( x = \pi – \arcsin(-0.5321) + k2\pi \)
\( x = \arcsin(-0.6026) + k2\pi \)
\( x = \pi – \arcsin(-0.6026) + k2\pi \)
với \( k \in \mathbb{Z} \).
(Nếu đề bài thực sự là \( 2\cos^2 \alpha \) với \( \alpha \) là một hằng số, thì \( 2\cos^2 \alpha \) là một hằng số \( C \). Phương trình sẽ là \( \frac{1}{\sin x} + C = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{1}{C} \), và giải theo dạng cơ bản \( \sin x = m \)).
— Bài 2: \( \cos 2x – \cos x = \sin x \)
Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng dễ phân tích.
Chúng ta nhận thấy vế trái có \( \cos 2x \) và \( \cos x \), vế phải có \( \sin x \). Hãy thử đưa tất cả về một vế:
\( \cos 2x – \cos x – \sin x = 0 \)
Ở đây, có một “mẹo” nhỏ là chúng ta thấy cụm \( (\cos x + \sin x) \). Hãy thử biến đổi \( \cos 2x \) theo cách tạo ra cụm này. Chúng ta biết công thức:
\( \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x \)
Và \( \cos^2 x – \sin^2 x \) là hằng đẳng thức đáng nhớ: \( (a^2 – b^2) = (a-b)(a+b) \). Vậy:
\( \cos 2x = (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x) \)
Thay vào phương trình ban đầu:
\( (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x) – (\cos x + \sin x) = 0 \)
Bước 2: Phân tích nhân tử.
Ta thấy có nhân tử chung là \( (\cos x + \sin x) \). Đặt nhân tử chung ra ngoài:
\( (\cos x + \sin x) [(\cos x – \sin x) – 1] = 0 \)
\( (\cos x + \sin x)(\cos x – \sin x – 1) = 0 \)
Bước 3: Giải các phương trình cơ bản.
Phương trình tích bằng 0 khi một trong các nhân tử bằng 0. Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( \cos x + \sin x = 0 \)
Đây là phương trình dạng \( a\sin x + b\cos x = 0 \). Ta có thể chia cả hai vế cho \( \cos x \) (kiểm tra trường hợp \( \cos x = 0 \) trước).
Nếu \( \cos x = 0 \), thì \( \sin x = \pm 1 \). Thay vào phương trình: \( 0 + (\pm 1) = 0 \Rightarrow \pm 1 = 0 \), vô lý. Vậy \( \cos x \neq 0 \).
Chia cả hai vế cho \( \cos x \):
\( \frac{\cos x}{\cos x} + \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \)
\( 1 + \tan x = 0 \)
\( \tan x = -1 \)
Nghiệm của phương trình này là:
\( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
Trường hợp 2: \( \cos x – \sin x – 1 = 0 \)
\( \cos x – \sin x = 1 \)
Đây là phương trình dạng \( a\sin x + b\cos x = c \). Ta có thể chuyển về dạng \( R\sin(x+\alpha) = c \) hoặc \( R\cos(x-\alpha) = c \).
Ở đây, \( a = -1, b = 1 \). Ta có \( \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \).
Chia cả hai vế cho \( \sqrt{2} \):
\( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x – \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Ta biết \( \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \). Sử dụng công thức \( \cos A \cos B – \sin A \sin B = \cos(A+B) \):
\( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x – \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( \cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Vậy, ta có hai trường hợp nhỏ hơn:
\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = k2\pi \)
\( x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \)
Kết luận:
Vậy, phương trình có ba họ nghiệm:
\( x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \)
\( x = k2\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi \)
với \( k \in \mathbb{Z} \).
— Bài 3: \( \sqrt{2} \sin 2x = \sin x + \cos x \)
Bước 1: Nhận diện cấu trúc đặc biệt.
Chúng ta thấy xuất hiện cả \( \sin 2x \) và \( (\sin x + \cos x) \). Đây là dấu hiệu để đặt ẩn phụ.
Bước 2: Đặt ẩn phụ.
Đặt \( t = \sin x + \cos x \).
Để tìm mối liên hệ giữa \( t \) và \( \sin 2x \), ta bình phương hai vế của ẩn phụ:
\( t^2 = (\sin x + \cos x)^2 \)
\( t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x \)
Sử dụng các công thức cơ bản: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) và \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \).
\( t^2 = 1 + \sin 2x \)
Từ đó suy ra:
\( \sin 2x = t^2 – 1 \)
Bước 3: Xác định điều kiện cho ẩn phụ \( t \).
Biểu thức \( \sin x + \cos x \) có thể biến đổi thành dạng \( R\sin(x+\alpha) \):
\( \sin x + \cos x = \sqrt{1^2+1^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x \right) \)
\( = \sqrt{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin x + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos x \right) \)
\( = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \)
Vì \( -1 \le \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \le 1 \), nên:
\( -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} \)
Bước 4: Thay ẩn phụ vào phương trình.
Thay \( t = \sin x + \cos x \) và \( \sin 2x = t^2 – 1 \) vào phương trình ban đầu:
\( \sqrt{2}(t^2 – 1) = t \)
\( \sqrt{2}t^2 – \sqrt{2} = t \)
Chuyển về phương trình bậc hai:
\( \sqrt{2}t^2 – t – \sqrt{2} = 0 \)
Bước 5: Giải phương trình bậc hai theo \( t \).
Sử dụng công thức nghiệm \( t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \):
\( \Delta = (-1)^2 – 4(\sqrt{2})(-\sqrt{2}) = 1 – 4(-2) = 1 + 8 = 9 \)
\( t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}} \)
Ta có hai nghiệm cho \( t \):
\( t_1 = \frac{1+3}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
\( t_2 = \frac{1-3}{2\sqrt{2}} = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Bước 6: Kiểm tra điều kiện và giải các phương trình cơ bản.
Cả hai nghiệm \( t_1 = \sqrt{2} \) và \( t_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) đều thỏa mãn điều kiện \( -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2} \).
Trường hợp 1: \( t = \sqrt{2} \)
Ta có \( \sin x + \cos x = \sqrt{2} \).
Chuyển về dạng \( \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \).
\( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \)
Nghiệm của phương trình này là:
\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \)
\( x = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \), với \( k \in \mathbb{Z} \).
Trường hợp 2: \( t = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Ta có \( \sin x + \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
Chuyển về dạng \( \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2} \)
Đặt \( -\frac{1}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \).
Vậy, ta có hai trường hợp nhỏ hơn:
\( x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + k2\pi \)
\( x = -\frac{\pi}{6} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = -\frac{2\pi}{12} – \frac{3\pi}{12} + k2\pi \)
\( x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \)
\( x + \frac{\pi}{4} = \pi – \left(-\frac{\pi}{6}\right) + k2\pi \)
\( x + \frac{\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{6} + k2\pi \)
\( x = \frac{7\pi}{6} – \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = \frac{14\pi}{12} – \frac{3\pi}{12} + k2\pi \)
\( x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi \)
với \( k \in \mathbb{Z} \).
Kết luận:
Phương trình có ba họ nghiệm:
\( x = \frac{\pi}{4} + k2\pi \)
\( x = -\frac{5\pi}{12} + k2\pi \)
\( x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi \)
với \( k \in \mathbb{Z} \).
Thầy hy vọng phần giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ các bước làm và phương pháp cho từng dạng bài tập. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!
Giải thích các bước giải:
\(\begin{aligned} & \text{1) } \\ & \sin x + 2\cos^2 x = 0 \\ & \text{Biến đổi phương trình về cùng một hàm số lượng giác, ta có:} \\ & \sin x + 2(1 – \sin^2 x) = 0 \Leftrightarrow -2\sin^2 x + \sin x + 2 = 0 \\ & \text{Giải phương trình bậc hai đối với ẩn } \sin x\text{, ta thu được:} \\ & \left[ \begin{array}{ll} \sin x = \dfrac{1 + \sqrt{17}}{4} & \text{(loại vì } \sin x \le 1) \\ \sin x = \dfrac{1 – \sqrt{17}}{4} & \text{(thỏa mãn)} \end{array} \right. \\ & \text{Họ nghiệm của phương trình đã cho là (với } k \in \mathbb{Z}\text{):} \\ & \left[ \begin{array}{ll} x = \arcsin\left(\dfrac{1 – \sqrt{17}}{4}\right) + k2\pi \\ x = \pi – \arcsin\left(\dfrac{1 – \sqrt{17}}{4}\right) + k2\pi \end{array} \right. \\ & \\ & \text{2) } \\ & \cos 2x – \cos x = \sin x \\ & \text{Áp dụng công thức nhân đôi } \cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x\text{, ta có:} \\ & (\cos^2 x – \sin^2 x) – (\cos x + \sin x) = 0 \\ & \text{Phân tích biểu thức thành nhân tử chung:} \\ & (\cos x + \sin x)(\cos x – \sin x) – (\cos x + \sin x) = 0 \\ & \Leftrightarrow (\cos x + \sin x)(\cos x – \sin x – 1) = 0 \\ & \text{Xét hai trường hợp để tìm nghiệm của phương trình:} \\ & \left[ \begin{array}{ll} \cos x + \sin x = 0 \quad (1) \\ \cos x – \sin x = 1 \quad (2) \end{array} \right. \\ & \text{Trường hợp (1): } \cos x + \sin x = 0 \\ & \Leftrightarrow \tan x = -1 \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z}) \\ & \text{Trường hợp (2): } \cos x – \sin x = 1 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{2}\cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow \cos\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ & \text{Giải phương trình lượng giác cơ bản, ta được:} \\ & \left[ \begin{array}{ll} x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x = k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z}) \\ & \\ & \text{3) } \\ & \sqrt{2}\sin 2x = \sin x + \cos x \\ & \text{Đặt ẩn phụ } t = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \\ & \text{Điều kiện của ẩn phụ là } -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\text{, bình phương ta được:} \\ & t^2 = 1 + \sin 2x \Rightarrow \sin 2x = t^2 – 1 \\ & \text{Thay vào phương trình ban đầu, ta có phương trình bậc hai theo } t\text{:} \\ & \sqrt{2}(t^2 – 1) = t \Leftrightarrow \sqrt{2}t^2 – t – \sqrt{2} = 0 \\ & \text{Giải phương trình bậc hai trên, ta thu được nghiệm:} \\ & \left[ \begin{array}{ll} t = \sqrt{2} & \text{(thỏa mãn)} \\ t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} & \text{(thỏa mãn)} \end{array} \right. \\ & \text{Với } t = \sqrt{2}\text{, ta giải tìm } x\text{:} \\ & \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1 \\ & \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z}) \\ & \text{Với } t = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{, ta giải tìm } x\text{:} \\ & \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{1}{2} \\ & \text{Họ nghiệm của phương trình lượng giác này là:} \\ & \left[ \begin{array}{ll} x + \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\ x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ll} x = -\dfrac{5\pi}{12} + k2\pi \\ x = \dfrac{11\pi}{12} + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z}) \end{aligned}\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment