Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về lũy thừa. Thầy sẽ hướng dẫn các em chi tiết cách viết các số \( \left(\frac{1}{4}\right)^8 \) và \( \left(\frac{1}{8}\right)^3 \) dưới dạng lũy thừa với cơ số là \( \frac{1}{2} \).

Mục tiêu: Viết \( \left(\frac{1}{4}\right)^8 \) và \( \left(\frac{1}{8}\right)^3 \) dưới dạng \( \left(\frac{1}{2}\right)^n \) với \( n \) là một số tự nhiên.

Bước 1: Phân tích cơ số của từng số

Chúng ta cần đưa cơ số của mỗi số về dạng \( \frac{1}{2} \).

Phần 1: Xét số \( \left(\frac{1}{4}\right)^8 \)

Ta nhận thấy cơ số là \( \frac{1}{4} \). Chúng ta có thể viết \( \frac{1}{4} \) dưới dạng lũy thừa của \( \frac{1}{2} \) như sau:

\( \frac{1}{4} = \frac{1}{2 \times 2} = \frac{1}{2^2} \)

Hoặc chúng ta có thể viết là:

\( \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)

Bây giờ, chúng ta thay thế \( \frac{1}{4} \) bằng \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 \) vào biểu thức ban đầu:

\( \left(\frac{1}{4}\right)^8 = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^8 \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \( \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \), ta có:

\( \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{2 \times 8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \)

Vậy, \( \left(\frac{1}{4}\right)^8 \) viết dưới dạng lũy thừa với cơ số \( \frac{1}{2} \) là \( \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \).

Phần 2: Xét số \( \left(\frac{1}{8}\right)^3 \)

Tương tự, cơ số ở đây là \( \frac{1}{8} \). Chúng ta sẽ biểu diễn \( \frac{1}{8} \) dưới dạng lũy thừa của \( \frac{1}{2} \):

\( \frac{1}{8} = \frac{1}{2 \times 2 \times 2} = \frac{1}{2^3} \)

Hoặc chúng ta có thể viết là:

\( \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \)

Bây giờ, chúng ta thay thế \( \frac{1}{8} \) bằng \( \left(\frac{1}{2}\right)^3 \) vào biểu thức ban đầu:

\( \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^3 \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa một lần nữa: \( \left(a^m\right)^n = a^{m \times n} \), ta có:

\( \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 \times 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^9 \)

Vậy, \( \left(\frac{1}{8}\right)^3 \) viết dưới dạng lũy thừa với cơ số \( \frac{1}{2} \) là \( \left(\frac{1}{2}\right)^9 \).

Kết luận:

Dưới dạng lũy thừa có cơ số là \( \frac{1}{2} \), chúng ta có:

\( \left(\frac{1}{4}\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \)

\( \left(\frac{1}{8}\right)^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^9 \)

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các quy tắc về lũy thừa, chúng ta có thể dễ dàng biến đổi các biểu thức phức tạp thành dạng mong muốn. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!

Chúc các em học tốt!