Để làm được điều này, chúng ta sẽ đi từ biểu thức phức tạp hơn và biến đổi nó.

Ta xét biểu thức \((a + b + c)^2\).

Bước 1: Khai triển biểu thức \((a + b + c)^2\).
Ta biết công thức khai triển của \((x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\).
Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, ta có:
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)

Bước 2: Xét hiệu giữa hai biểu thức.
Chúng ta sẽ tính hiệu của \(3(a^2 + b^2 + c^2)\) và \((a + b + c)^2\).
Hiệu đó là:
\( 3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2 \)
Thay khai triển của \((a + b + c)^2\) vào, ta được:
\( = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – (a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) \)

Bước 3: Rút gọn biểu thức hiệu.
Khi bỏ dấu ngoặc, ta đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong:
\( = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – a^2 – b^2 – c^2 – 2ab – 2bc – 2ca \)
Ghép các hạng tử đồng dạng lại với nhau:
\( = (3a^2 – a^2) + (3b^2 – b^2) + (3c^2 – c^2) – 2ab – 2bc – 2ca \)
\( = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca \)

Bước 4: Biến đổi biểu thức hiệu về dạng tổng bình phương.
Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi biểu thức vừa thu được để thấy rõ dấu của nó.
Ta có thể tách mỗi hạng tử bình phương thành hai lần:
\( = (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2) \)
Các nhóm hạng tử trong ngoặc đều là dạng của bình phương một hiệu:
\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (b – c)^2 = b^2 – 2bc + c^2 \)
\( (c – a)^2 = c^2 – 2ca + a^2 \)
Vậy, biểu thức hiệu trở thành:
\( = (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 \)

Bước 5: Nhận xét dấu của biểu thức hiệu.
Ta biết rằng, với mọi số thực \(x\), \(x^2 \ge 0\).
Do đó,
\( (a – b)^2 \ge 0 \) với mọi \(a, b\)
\( (b – c)^2 \ge 0 \) với mọi \(b, c\)
\( (c – a)^2 \ge 0 \) với mọi \(c, a\)
Vì vậy, tổng của ba số không âm này sẽ luôn không âm:
\( (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 \ge 0 \)
Điều này có nghĩa là:
\( 3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2 \ge 0 \)
Suy ra:
\( 3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2 \)

Dấu bằng xảy ra khi nào?
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi cả ba số hạng đều bằng 0:
\( (a – b)^2 = 0 \Rightarrow a – b = 0 \Rightarrow a = b \)
\( (b – c)^2 = 0 \Rightarrow b – c = 0 \Rightarrow b = c \)
\( (c – a)^2 = 0 \Rightarrow c – a = 0 \Rightarrow c = a \)
Vậy, dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\).

Kết luận:
Với \(a, b, c\) bất kỳ, ta có:
\(3(a^2 + b^2 + c^2) \ge (a + b + c)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).

Đây là một bất đẳng thức rất quan trọng và có nhiều ứng dụng trong các bài toán chứng minh.
Các em về nhà ôn tập lại cách biến đổi và chứng minh này nhé!
Có em nào có câu hỏi gì không?