Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế về năng suất công việc, cụ thể là về các máy bơm nước. Đây là dạng bài khá phổ biến trong chương trình Toán lớp 9, yêu cầu chúng ta vận dụng kiến thức về giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Đề bài: 2 chiếc máy bơm nước vào bể không có nước sau 5 giờ đầy bể nếu máy bơm thứ nhất bơm một mình thì nhanh hơn máy bơm thứ hai là 3 giờ. nếu bơm một mình thì máy bơm thứ nhất chạy đầy bể trong bao lâu?

Chúng ta sẽ phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết nhé!

Phân tích bài toán:

Bài toán liên quan đến năng suất làm việc (bơm đầy bể) của hai máy bơm. Khi làm việc chung, chúng hoàn thành công việc trong 5 giờ. Khi làm việc riêng, có mối quan hệ về thời gian hoàn thành giữa hai máy.

• Toàn bộ công việc là “đầy bể”, ta quy ước là 1 đơn vị công việc.
• Thời gian hoàn thành công việc là T.
• Năng suất làm việc là số phần công việc làm được trong 1 đơn vị thời gian (ở đây là 1 giờ). Năng suất = \( \frac{1}{T} \).

Các bước giải:

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn.

Để tìm thời gian máy bơm thứ nhất bơm đầy bể một mình, chúng ta sẽ đặt thời gian này là ẩn.

Gọi thời gian để máy bơm thứ nhất (máy bơm 1) bơm đầy bể một mình là \( x \) (giờ).

Điều kiện: Thời gian phải là một số dương. Hơn nữa, vì cả hai máy bơm cùng làm việc mất 5 giờ để đầy bể, nên nếu làm một mình, mỗi máy phải mất nhiều hơn 5 giờ. Do đó, \( x > 5 \).

Bước 2: Biểu diễn các đại lượng khác theo ẩn đã đặt.

Từ giả thiết “máy bơm thứ nhất bơm một mình thì nhanh hơn máy bơm thứ hai là 3 giờ”, ta suy ra:

• Thời gian để máy bơm thứ hai (máy bơm 2) bơm đầy bể một mình là \( x + 3 \) (giờ).
• Vì \( x > 5 \), nên \( x + 3 > 8 \). Điều này thỏa mãn điều kiện thời gian của máy bơm 2 cũng phải lớn hơn 5.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính năng suất của từng máy bơm:

• Trong 1 giờ, máy bơm 1 bơm được \( \frac{1}{x} \) (phần bể). (Đây là năng suất của máy bơm 1)
• Trong 1 giờ, máy bơm 2 bơm được \( \frac{1}{x+3} \) (phần bể). (Đây là năng suất của máy bơm 2)

Khi cả hai máy bơm cùng làm việc:

• Trong 1 giờ, cả hai máy bơm cùng bơm được \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} \) (phần bể).

Bước 3: Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Theo đề bài, cả hai máy bơm cùng bơm đầy bể trong 5 giờ.

Điều này có nghĩa là, trong 1 giờ, cả hai máy bơm cùng bơm được \( \frac{1}{5} \) (phần bể).

Từ đó, chúng ta có phương trình sau:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{5} \)

Bước 4: Giải phương trình đã lập.

Chúng ta sẽ giải phương trình vừa lập để tìm \( x \):

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{5} \)

Đầu tiên, tìm mẫu số chung của vế trái là \( x(x+3) \):

\( \frac{x+3}{x(x+3)} + \frac{x}{x(x+3)} = \frac{1}{5} \)

Cộng hai phân thức ở vế trái:

\( \frac{x+3+x}{x(x+3)} = \frac{1}{5} \)

\( \frac{2x+3}{x^2+3x} = \frac{1}{5} \)

Thực hiện phép nhân chéo:

\( 5(2x+3) = 1(x^2+3x) \)

\( 10x+15 = x^2+3x \)

Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về phương trình bậc hai:

\( x^2+3x-10x-15 = 0 \)

\( x^2-7x-15 = 0 \)

Chúng ta sẽ dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2+bx+c=0 \), với \( a=1, b=-7, c=-15 \).

Tính biệt thức Delta (\( \Delta \)):

\( \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \Delta = (-7)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-15) \)

\( \Delta = 49 + 60 \)

\( \Delta = 109 \)

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) + \sqrt{109}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-7) – \sqrt{109}}{2 \cdot 1} = \frac{7 – \sqrt{109}}{2} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra điều kiện của ẩn \( x \).

Ta có \( \sqrt{100} = 10 \) và \( \sqrt{121} = 11 \), nên \( \sqrt{109} \approx 10.44 \).

• Với \( x_1 = \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \approx \frac{7 + 10.44}{2} = \frac{17.44}{2} \approx 8.72 \) (giờ).

Giá trị này thỏa mãn điều kiện \( x > 5 \).

• Với \( x_2 = \frac{7 – \sqrt{109}}{2} \approx \frac{7 – 10.44}{2} = \frac{-3.44}{2} \approx -1.72 \) (giờ).

Giá trị này không thỏa mãn điều kiện thời gian phải là số dương \( x > 0 \). Do đó, ta loại nghiệm này.

Vậy, thời gian máy bơm thứ nhất bơm đầy bể một mình là \( \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \) giờ.

Bước 5: Kết luận.

Thời gian để máy bơm thứ nhất bơm đầy bể một mình là \( \frac{7 + \sqrt{109}}{2} \) giờ (xấp xỉ 8.72 giờ).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chú ý các bước đặt ẩn, lập phương trình và kiểm tra điều kiện của nghiệm để tránh sai sót nhé!