Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học về tam giác vuông. Bài toán yêu cầu chúng ta tính tỉ số lượng giác của góc C trong một tam giác vuông với các dữ kiện cho trước. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về định lý Pythagoras và các tỉ số lượng giác cơ bản.

Chúng ta hãy bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho tam giác ABC, có góc A bằng 90 độ và BC = 2 x AB. Hãy tính tỉ số lượng giác của góc C.

Bài giải chi tiết:

1. Phân tích đề bài và Xác định mục tiêu:

Chúng ta có:

• Một tam giác \(\(\triangle ABC\)\) vuông tại \(\(A\)\) (nghĩa là \(\(\widehat{A} = 90^\circ\)\)).
• Độ dài cạnh huyền \(\(BC\)\) gấp đôi độ dài cạnh góc vuông \(\(AB\)\), tức là \(\(BC = 2 \times AB\)\).

Mục tiêu của chúng ta là tính các tỉ số lượng giác của góc \(\(C\)\), bao gồm \(\(\sin C\)\), \(\(\cos C\)\), \(\(\tan C\)\), và \(\(\cot C\)\).

2. Đặt ẩn và Biểu diễn các cạnh của tam giác:

Để thuận tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ đặt độ dài một cạnh theo một biến số.

Gọi độ dài cạnh \(\(AB\)\) là \(\(x\)\). (Với \(\(x > 0\)\))

Theo đề bài, ta có \(\(BC = 2 \times AB\)\). Vậy, \(\(BC = 2x\)\).

Bây giờ, chúng ta cần tìm độ dài cạnh \(\(AC\)\) theo \(\(x\)\).

3. Áp dụng định lý Pythagoras để tìm độ dài cạnh còn lại:

Vì \(\(\triangle ABC\)\) là tam giác vuông tại \(\(A\)\), nên theo định lý Pythagoras, ta có:

\(\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)\)

Thay các giá trị đã biểu diễn theo \(\(x\)\) vào, ta được:

\(\(x^2 + AC^2 = (2x)^2\)\)

\(\(x^2 + AC^2 = 4x^2\)\)

Suy ra:

\(\(AC^2 = 4x^2 – x^2\)\)

\(\(AC^2 = 3x^2\)\)

Lấy căn bậc hai hai vế (vì độ dài cạnh phải dương):

\(\(AC = \sqrt{3x^2}\)\)

\(\(AC = x\sqrt{3}\)\)

Vậy, ta đã có độ dài ba cạnh của tam giác theo \(\(x\)\):

• \(\(AB = x\)\)
• \(\(BC = 2x\)\)
• \(\(AC = x\sqrt{3}\)\)

4. Tính các tỉ số lượng giác của góc \(\(C\)\):

Trong \(\(\triangle ABC\)\) vuông tại \(\(A\)\):

• Cạnh đối của góc \(\(C\)\) là \(\(AB\)\).
• Cạnh kề của góc \(\(C\)\) là \(\(AC\)\).
• Cạnh huyền là \(\(BC\)\).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các định nghĩa của tỉ số lượng giác:

a) \(\(\sin C\)\) (sin đối / huyền):

\(\(\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}\)\)

b) \(\(\cos C\)\) (cos kề / huyền):

\(\(\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{x\sqrt{3}}{2x} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)\)

c) \(\(\tan C\)\) (tan đối / kề):

\(\(\tan C = \frac{AB}{AC} = \frac{x}{x\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)\)

d) \(\(\cot C\)\) (cot kề / đối):

\(\(\cot C = \frac{AC}{AB} = \frac{x\sqrt{3}}{x} = \sqrt{3}\)\)

Lưu ý thêm: Với các tỉ số lượng giác này, chúng ta có thể suy ra được số đo của góc \(\(C\)\). Cụ thể, khi \(\(\sin C = \frac{1}{2}\)\), thì \(\(\widehat{C} = 30^\circ\)\). Đây là một góc đặc biệt mà chúng ta thường gặp trong hình học.

Kết luận:

Vậy, các tỉ số lượng giác của góc \(\(C\)\) là:

• \(\(\sin C = \frac{1}{2}\)\)
• \(\(\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}\)\)
• \(\(\tan C = \frac{\sqrt{3}}{3}\)\)
• \(\(\cot C = \sqrt{3}\)\)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm rõ cách áp dụng định lý Pythagoras và các định nghĩa tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại thầy nhé!

Chúc các em học tốt!