Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về hằng đẳng thức. Đây là một công cụ cực kỳ hữu ích để tính toán nhanh và biến đổi biểu thức đại số.

Đề bài: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh:

\( (2x – \text{…})( \text{…} + \text{…} + 25y^4) = 8x^3 – 125y^6 \)

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhận diện xem vế phải của phương trình có dạng của hằng đẳng thức nào. Vế phải là \( 8x^3 – 125y^6 \).

Chúng ta nhớ lại “Hằng đẳng thức lập phương của một hiệu”:

\( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích vế phải \( 8x^3 – 125y^6 \) để đưa về dạng \( a^3 – b^3 \):

Ta có:

• \( 8x^3 \) có thể viết thành \( (2x)^3 \). Vậy, \( a = 2x \).
• \( 125y^6 \) có thể viết thành \( (5y^2)^3 \). Để ý rằng \( (y^2)^3 = y^{2 \cdot 3} = y^6 \). Vậy, \( b = 5y^2 \).

Như vậy, vế phải của chúng ta chính là \( (2x)^3 – (5y^2)^3 \).

Áp dụng hằng đẳng thức \( a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2) \) với \( a = 2x \) và \( b = 5y^2 \), ta được:

\( (2x)^3 – (5y^2)^3 = (2x – 5y^2)((2x)^2 + (2x)(5y^2) + (5y^2)^2) \)

Bây giờ chúng ta sẽ tính toán các biểu thức trong ngoặc vuông:

• \( (2x)^2 = 4x^2 \)
• \( (2x)(5y^2) = 10xy^2 \)
• \( (5y^2)^2 = 25y^4 \)

Thay các kết quả này trở lại vào biểu thức trên, ta được:

\( (2x)^3 – (5y^2)^3 = (2x – 5y^2)(4x^2 + 10xy^2 + 25y^4) \)

So sánh kết quả này với biểu thức đề bài cho:

\( (2x – \text{…})( \text{…} + \text{…} + 25y^4) = 8x^3 – 125y^6 \)

Chúng ta có thể dễ dàng điền vào các chỗ trống:

• Chỗ trống thứ nhất (trong ngoặc đơn thứ nhất): \( 5y^2 \)
• Chỗ trống thứ hai (thứ nhất trong ngoặc đơn thứ hai): \( 4x^2 \)
• Chỗ trống thứ ba (thứ hai trong ngoặc đơn thứ hai): \( 10xy^2 \)

Kết quả cuối cùng:

Vậy, biểu thức hoàn chỉnh là:

\( (2x – 5y^2)(4x^2 + 10xy^2 + 25y^4) = 8x^3 – 125y^6 \)

Hy vọng bài giải này giúp các em hiểu rõ hơn về cách áp dụng hằng đẳng thức để giải bài toán một cách nhanh chóng và chính xác nhé! Có câu hỏi gì cứ mạnh dạn hỏi thầy!