Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay, vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính toán một cách nhanh chóng và hiệu quả. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Dựa vào các hằng đẳng thức để tính nhanh:

\((2^2+4^2+\dots+50^2)-(1^2+3^2+\dots+49^2)\)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một. Đầu tiên, các em cần nhận ra cấu trúc của biểu thức đã cho.

Phân tích đề bài:

Biểu thức gồm hai tổng bình phương, một tổng các số chẵn bình phương và một tổng các số lẻ bình phương.

• Tổng thứ nhất: Các số chẵn từ 2 đến 50 được bình phương.
• Tổng thứ hai: Các số lẻ từ 1 đến 49 được bình phương.

Các chỗ trống trong đề bài chính là các số chẵn (tăng dần 2 đơn vị) và các số lẻ (tăng dần 2 đơn vị) theo quy luật của dãy số.

Cụ thể, biểu thức được viết đầy đủ là:

\((2^2+4^2+6^2+\dots+50^2)-(1^2+3^2+5^2+\dots+49^2)\)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Ghép cặp các số hạng

Chúng ta nhận thấy rằng mỗi số hạng trong tổng thứ nhất (các số chẵn bình phương) có thể ghép cặp với một số hạng tương ứng trong tổng thứ hai (các số lẻ bình phương) để tạo thành hiệu của hai bình phương. Đây là dấu hiệu để chúng ta sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).

Ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\((2^2 – 1^2) + (4^2 – 3^2) + (6^2 – 5^2) + \dots + (50^2 – 49^2)\)

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) cho từng cặp

Chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức này cho mỗi cặp số hạng:

• Với cặp đầu tiên: \(2^2 – 1^2 = (2-1)(2+1) = 1 \times 3 = 3\)
• Với cặp thứ hai: \(4^2 – 3^2 = (4-3)(4+3) = 1 \times 7 = 7\)
• Với cặp thứ ba: \(6^2 – 5^2 = (6-5)(6+5) = 1 \times 11 = 11\)
• …
• Và cặp cuối cùng: \(50^2 – 49^2 = (50-49)(50+49) = 1 \times 99 = 99\)

Bước 3: Viết lại biểu thức dưới dạng tổng mới

Sau khi áp dụng hằng đẳng thức, biểu thức ban đầu trở thành một tổng của các số hạng mới:

\(3 + 7 + 11 + \dots + 99\)

Bước 4: Nhận dạng dãy số mới và tính tổng

Dãy số \(3, 7, 11, \dots, 99\) là một cấp số cộng (hay dãy số cách đều) vì hiệu của hai số hạng liên tiếp là một hằng số.

• Số hạng đầu: \(u_1 = 3\)
• Công sai (hiệu của hai số hạng liên tiếp): \(d = 7 – 3 = 4\) (hoặc \(11 – 7 = 4\))
• Số hạng cuối: \(u_n = 99\)

Để tính tổng của dãy số này, chúng ta cần xác định số lượng số hạng trong dãy.

Xác định số lượng số hạng (\(n\)):

Ta nhận thấy rằng mỗi cặp \((a^2 – b^2)\) tương ứng với một số chẵn \(a\). Các số chẵn bắt đầu từ 2 đến 50.

Số lượng số chẵn từ 2 đến 50 là: \(\frac{50 – 2}{2} + 1 = \frac{48}{2} + 1 = 24 + 1 = 25\) (số hạng).

Vậy, dãy số \(3 + 7 + 11 + \dots + 99\) có 25 số hạng.

Hoặc, chúng ta có thể dùng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \(u_n = u_1 + (n-1)d\)

\(99 = 3 + (n-1) \times 4\)

\(96 = (n-1) \times 4\)

\(n-1 = \frac{96}{4}\)

\(n-1 = 24\)

\(n = 25\)

Vậy có 25 số hạng trong dãy số này.

Tính tổng của dãy số:

Công thức tính tổng của cấp số cộng là: \(S_n = \frac{n}{2} \times (u_1 + u_n)\)

Thay các giá trị vào công thức:

\(S_{25} = \frac{25}{2} \times (3 + 99)\)

\(S_{25} = \frac{25}{2} \times 102\)

\(S_{25} = 25 \times \frac{102}{2}\)

\(S_{25} = 25 \times 51\)

Bây giờ chúng ta thực hiện phép nhân cuối cùng:

\(25 \times 51 = 25 \times (50 + 1) = 25 \times 50 + 25 \times 1 = 1250 + 25 = 1275\)

Kết luận:

Vậy giá trị của biểu thức là:

\((2^2+4^2+6^2+\dots+50^2)-(1^2+3^2+5^2+\dots+49^2) = 1275\)

Qua bài toán này, các em thấy rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức và biết cách vận dụng linh hoạt có thể giúp chúng ta giải quyết các bài toán phức tạp một cách nhanh chóng và dễ dàng hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!