Chào các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một dạng bài rất quan trọng mà các em sẽ gặp nhiều trong chương trình Toán lớp 9.

Đề bài: Tìm giá trị của a để hệ phương trình

\( \left\{ \begin{array}{l} 2x + ay = -4 \quad (1) \\ ax – 3y = 5 \quad (2) \end{array} \right. \)

có nghiệm duy nhất.

—

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ lại điều kiện để một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.

1. Kiến thức cần nhớ:
Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát:

\( \left\{ \begin{array}{l} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{array} \right. \)

Hệ phương trình này sẽ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tỉ số các hệ số của x và y khác nhau, tức là:

\( \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} \)

Điều kiện này cũng có thể được viết dưới dạng tích chéo là:

\( a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0 \)

Đây là công thức tổng quát và an toàn hơn, đặc biệt khi một trong các hệ số \( a_2 \) hoặc \( b_2 \) có thể bằng 0.

2. Áp dụng vào bài toán cụ thể:
Hệ phương trình của chúng ta là:

\( \left\{ \begin{array}{l} 2x + ay = -4 \quad (1) \\ ax – 3y = 5 \quad (2) \end{array} \right. \)

Chúng ta hãy xác định các hệ số \( a_1, b_1, a_2, b_2 \):

• Từ phương trình (1): \( a_1 = 2 \), \( b_1 = a \)
• Từ phương trình (2): \( a_2 = a \), \( b_2 = -3 \)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta áp dụng điều kiện:

\( a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0 \)

Thay các giá trị \( a_1, b_1, a_2, b_2 \) vào, ta được:

\( (2) \cdot (-3) – (a) \cdot (a) \neq 0 \)

Thực hiện phép tính:

\( -6 – a^2 \neq 0 \)

Chuyển \( -6 \) sang vế phải:

\( -a^2 \neq 6 \)

Nhân cả hai vế với \( -1 \) (và nhớ đổi chiều dấu bất đẳng thức nếu đây là bất đẳng thức, nhưng vì là dấu khác nên không cần đổi chiều):

\( a^2 \neq -6 \)

3. Phân tích kết quả:
Chúng ta cần tìm giá trị của \( a \) sao cho \( a^2 \neq -6 \).

Hãy nhớ rằng, với bất kỳ số thực \( a \) nào, bình phương của nó \( a^2 \) luôn luôn là một số không âm (lớn hơn hoặc bằng 0). Tức là:

\( a^2 \ge 0 \)

Trong khi đó, vế phải của bất đẳng thức là \( -6 \), một số âm.

Vì \( a^2 \) luôn luôn không âm và \( -6 \) là một số âm, nên \( a^2 \) sẽ luôn luôn khác \( -6 \) với mọi giá trị thực của \( a \).

Điều này có nghĩa là, không có giá trị nào của \( a \) làm cho \( a^2 = -6 \).

4. Kết luận:
Vậy, hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị thực của a.

—

Tóm tắt các bước giải:

1. Xác định các hệ số \( a_1, b_1, a_2, b_2 \) từ hệ phương trình.
2. Áp dụng điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: \( a_1b_2 – a_2b_1 \neq 0 \).
3. Thay các hệ số vào và giải bất phương trình tìm \( a \).
4. Phân tích kết quả để đưa ra tập hợp các giá trị của \( a \).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!