Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Các em hãy chú ý theo dõi và ghi chép cẩn thận nhé. Chúng ta sẽ giải lần lượt từng câu một.

Bài toán: Giải các hệ phương trình sau:
a) \(3x+y=3\)
\(2x-5y=1\)

b) \(x-2y=8\)
\(5x+2y=4\)

c) \(2x+y=4\)
\(4x+3y=6\)

d) \(x+4y=11\)
\(5x-7y=1\)

e) \(2x-y=0\)
\(-3x+2y=0\)

—

Lời giải chi tiết:

a) Giải hệ phương trình:
\(3x+y=3\) (1)
\(2x-5y=1\) (2)

Phân tích: Hệ phương trình này có thể giải bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Nhìn vào phương trình (1), ta thấy hệ số của \(y\) là 1, nên việc rút \(y\) theo \(x\) sẽ rất đơn giản.

Bước 1: Rút một ẩn theo ẩn còn lại.
Từ phương trình (1), ta rút \(y\):
\(y = 3 – 3x\) (3)

Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại.
Thế (3) vào phương trình (2):
\(2x – 5(3 – 3x) = 1\)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
\(2x – 15 + 15x = 1\)
\(17x = 1 + 15\)
\(17x = 16\)
\(x = \frac{16}{17}\)

Bước 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu hoặc phương trình biểu diễn ẩn kia để tìm ẩn còn lại.
Thế \(x = \frac{16}{17}\) vào phương trình (3):
\(y = 3 – 3 \left( \frac{16}{17} \right)\)
\(y = 3 – \frac{48}{17}\)
\(y = \frac{3 \times 17 – 48}{17}\)
\(y = \frac{51 – 48}{17}\)
\(y = \frac{3}{17}\)

Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = \left(\frac{16}{17}, \frac{3}{17}\right)\).

—

b) Giải hệ phương trình:
\(x-2y=8\) (1)
\(5x+2y=4\) (2)

Phân tích: Ở hệ này, ta thấy hệ số của \(y\) trong hai phương trình có giá trị đối nhau (\(-2\) và \(+2\)). Đây là dấu hiệu thuận lợi để sử dụng phương pháp cộng đại số.

Bước 1: Cộng hoặc trừ hai phương trình để khử một ẩn.
Cộng vế theo vế của phương trình (1) và phương trình (2):
\((x – 2y) + (5x + 2y) = 8 + 4\)
\(x – 2y + 5x + 2y = 12\)
\(6x = 12\)

Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
\(x = \frac{12}{6}\)
\(x = 2\)

Bước 3: Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.
Thế \(x = 2\) vào phương trình (1):
\(2 – 2y = 8\)
\(-2y = 8 – 2\)
\(-2y = 6\)
\(y = \frac{6}{-2}\)
\(y = -3\)

Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (2, -3)\).

—

c) Giải hệ phương trình:
\(2x+y=4\) (1)
\(4x+3y=6\) (2)

Phân tích: Ta có thể sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Với phương pháp cộng đại số, ta cần nhân các phương trình với các hệ số thích hợp để hệ số của một trong hai ẩn bằng nhau hoặc đối nhau.

Cách 1: Sử dụng phương pháp thế.
Từ phương trình (1), rút \(y\):
\(y = 4 – 2x\) (3)
Thế (3) vào phương trình (2):
\(4x + 3(4 – 2x) = 6\)
\(4x + 12 – 6x = 6\)
\(-2x = 6 – 12\)
\(-2x = -6\)
\(x = \frac{-6}{-2}\)
\(x = 3\)
Thế \(x = 3\) vào phương trình (3):
\(y = 4 – 2(3)\)
\(y = 4 – 6\)
\(y = -2\)

Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số.
Nhân phương trình (1) với 3 để hệ số của \(y\) trong hai phương trình là 3 và 3:
\(3 \times (2x + y = 4) \implies 6x + 3y = 12\) (1′)
Giữ nguyên phương trình (2): \(4x + 3y = 6\) (2)
Trừ vế theo vế của (1′) và (2):
\((6x + 3y) – (4x + 3y) = 12 – 6\)
\(6x + 3y – 4x – 3y = 6\)
\(2x = 6\)
\(x = 3\)
Thế \(x = 3\) vào phương trình (1):
\(2(3) + y = 4\)
\(6 + y = 4\)
\(y = 4 – 6\)
\(y = -2\)

Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (3, -2)\).

—

d) Giải hệ phương trình:
\(x+4y=11\) (1)
\(5x-7y=1\) (2)

Phân tích: Đây là một hệ phương trình không có sẵn hệ số đối nhau hoặc bằng nhau cho cả hai ẩn. Chúng ta có thể chọn phương pháp thế hoặc cộng đại số. Với phương pháp cộng đại số, ta có thể nhân phương trình (1) với 5 để hệ số của \(x\) trong hai phương trình là 5 và 5.

Bước 1: Nhân phương trình với hệ số thích hợp để khử một ẩn.
Nhân phương trình (1) với 5:
\(5 \times (x + 4y = 11) \implies 5x + 20y = 55\) (1′)
Giữ nguyên phương trình (2): \(5x – 7y = 1\) (2)

Bước 2: Trừ hai phương trình để khử ẩn \(x\).
Trừ vế theo vế của (1′) và (2):
\((5x + 20y) – (5x – 7y) = 55 – 1\)
\(5x + 20y – 5x + 7y = 54\)
\(27y = 54\)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
\(y = \frac{54}{27}\)
\(y = 2\)

Bước 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong các phương trình ban đầu để tìm ẩn còn lại.
Thế \(y = 2\) vào phương trình (1):
\(x + 4(2) = 11\)
\(x + 8 = 11\)
\(x = 11 – 8\)
\(x = 3\)

Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (3, 2)\).

—

e) Giải hệ phương trình:
\(2x-y=0\) (1)
\(-3x+2y=0\) (2)

Phân tích: Hệ phương trình này có đặc điểm là hai vế phải đều bằng 0. Điều này cho thấy hệ phương trình này có thể có nghiệm duy nhất là \((0, 0)\) hoặc có vô số nghiệm. Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Nhìn vào phương trình (1), việc rút \(y\) theo \(x\) sẽ rất đơn giản.

Bước 1: Rút một ẩn theo ẩn còn lại.
Từ phương trình (1), ta rút \(y\):
\(y = 2x\) (3)

Bước 2: Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình còn lại.
Thế (3) vào phương trình (2):
\(-3x + 2(2x) = 0\)

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
\(-3x + 4x = 0\)
\(x = 0\)

Bước 4: Thế giá trị của ẩn vừa tìm được vào phương trình biểu diễn ẩn kia để tìm ẩn còn lại.
Thế \(x = 0\) vào phương trình (3):
\(y = 2(0)\)
\(y = 0\)

Kết luận: Vậy, nghiệm của hệ phương trình là \((x, y) = (0, 0)\).

—

Các em thấy đấy, việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không quá khó nếu chúng ta nắm vững các phương pháp. Quan trọng là các em phải luyện tập thật nhiều để thành thạo. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!