Chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Đây là một kiến thức rất quan trọng, các em hãy chú ý theo dõi và ghi chép cẩn thận nhé!

Đề bài: Tam giác ABC, góc A = 90 độ. Tính sin B, tan B biết
a, AB/BC = 12/13
b, AB/AC = 15/8

Chúng ta cùng nhau phân tích đề bài và áp dụng các công thức đã học.

Phân tích chung:
Trong tam giác vuông ABC tại A:

• Cạnh huyền là BC (cạnh đối diện với góc vuông A).
• Đối với góc B:
• Cạnh đối diện là AC.
• Cạnh kề là AB.

Các tỉ số lượng giác của góc B được định nghĩa như sau:
\( \sin B = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AC}{BC} \)
\( \tan B = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}} = \frac{AC}{AB} \)

Để tính được sin B và tan B, chúng ta cần tìm độ dài của ba cạnh AB, AC, BC (hoặc tỉ lệ giữa chúng). Định lý Pytago sẽ là công cụ đắc lực ở đây: \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).

Giải bài toán:

a, Trường hợp AB/BC = 12/13:

Ta có tỉ số \( \frac{AB}{BC} = \frac{12}{13} \). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể đặt \( AB = 12k \) và \( BC = 13k \) (với \( k > 0 \) là một hằng số tỉ lệ). Mục tiêu của chúng ta là tìm cạnh AC theo k.

Bước 1: Tìm độ dài cạnh AC theo k.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:
\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
Thế các giá trị đã đặt vào công thức:
\( (12k)^2 + AC^2 = (13k)^2 \)
\( 144k^2 + AC^2 = 169k^2 \)
Chuyển \( 144k^2 \) sang vế phải:
\( AC^2 = 169k^2 – 144k^2 \)
\( AC^2 = 25k^2 \)
Lấy căn bậc hai hai vế (chúng ta chỉ xét giá trị dương vì đây là độ dài cạnh):
\( AC = \sqrt{25k^2} \)
\( AC = 5k \)

Bước 2: Tính sin B.
Theo định nghĩa: \( \sin B = \frac{AC}{BC} \)
Thế các giá trị AC và BC đã tìm được:
\( \sin B = \frac{5k}{13k} \)
Rút gọn k:
\( \sin B = \frac{5}{13} \)

Bước 3: Tính tan B.
Theo định nghĩa: \( \tan B = \frac{AC}{AB} \)
Thế các giá trị AC và AB đã tìm được:
\( \tan B = \frac{5k}{12k} \)
Rút gọn k:
\( \tan B = \frac{5}{12} \)

Vậy, trong trường hợp a, \( \sin B = \frac{5}{13} \) và \( \tan B = \frac{5}{12} \).

b, Trường hợp AB/AC = 15/8:

Ta có tỉ số \( \frac{AB}{AC} = \frac{15}{8} \). Tương tự như trên, ta có thể đặt \( AB = 15m \) và \( AC = 8m \) (với \( m > 0 \) là một hằng số tỉ lệ). Mục tiêu của chúng ta là tìm cạnh BC theo m.

Bước 1: Tìm độ dài cạnh BC theo m.
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC:
\( AB^2 + AC^2 = BC^2 \)
Thế các giá trị đã đặt vào công thức:
\( (15m)^2 + (8m)^2 = BC^2 \)
\( 225m^2 + 64m^2 = BC^2 \)
Cộng các giá trị ở vế trái:
\( 289m^2 = BC^2 \)
Lấy căn bậc hai hai vế:
\( BC = \sqrt{289m^2} \)
\( BC = 17m \) (Vì độ dài phải dương)

Bước 2: Tính sin B.
Theo định nghĩa: \( \sin B = \frac{AC}{BC} \)
Thế các giá trị AC và BC đã tìm được:
\( \sin B = \frac{8m}{17m} \)
Rút gọn m:
\( \sin B = \frac{8}{17} \)

Bước 3: Tính tan B.
Theo định nghĩa: \( \tan B = \frac{AC}{AB} \)
Thế các giá trị AC và AB đã tìm được:
\( \tan B = \frac{8m}{15m} \)
Rút gọn m:
\( \tan B = \frac{8}{15} \)

Vậy, trong trường hợp b, \( \sin B = \frac{8}{17} \) và \( \tan B = \frac{8}{15} \).

Tóm tắt kết quả:
a, \( \sin B = \frac{5}{13} \), \( \tan B = \frac{5}{12} \).
b, \( \sin B = \frac{8}{17} \), \( \tan B = \frac{8}{15} \).

Các em nhớ rằng, khi làm bài tập về tỉ số lượng giác, việc xác định đúng cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền so với góc đang xét là vô cùng quan trọng. Đồng thời, định lý Pytago là một công cụ không thể thiếu để tìm độ dài cạnh còn lại. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé! Chúc các em học tốt!