Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em cách rút gọn một biểu thức đại số. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về hằng đẳng thức và các phép toán với đa thức.

Chúng ta cùng bắt tay vào bài toán nhé!

Đề bài: Rút gọn biểu thức sau:

\( ( x + 4 )^2 + ( x + 5 ) ( x – 5 ) – 2x( x + 1 ) \)

Hướng dẫn giải:

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: khai triển từng thành phần trong biểu thức, sau đó cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bước 1: Khai triển từng thành phần của biểu thức.

Chúng ta có ba phần cần khai triển:

1. Phần thứ nhất: \( ( x + 4 )^2 \)
   
   Đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \).
   
   Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \( A = x \) và \( B = 4 \):
   
   \( ( x + 4 )^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 \)
   
   \( ( x + 4 )^2 = x^2 + 8x + 16 \)
2. Phần thứ hai: \( ( x + 5 ) ( x – 5 ) \)
   
   Đây là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (A + B)(A – B) = A^2 – B^2 \).
   
   Áp dụng vào biểu thức của chúng ta, với \( A = x \) và \( B = 5 \):
   
   \( ( x + 5 ) ( x – 5 ) = x^2 – 5^2 \)
   
   \( ( x + 5 ) ( x – 5 ) = x^2 – 25 \)
3. Phần thứ ba: \( – 2x( x + 1 ) \)
   
   Đối với phần này, chúng ta sẽ nhân đơn thức \(-2x\) với từng hạng tử trong ngoặc \((x + 1)\).
   
   \( – 2x( x + 1 ) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot 1 \)
   
   \( – 2x( x + 1 ) = -2x^2 – 2x \)

Bước 2: Thay các kết quả đã khai triển vào biểu thức ban đầu.

Biểu thức ban đầu là: \( ( x + 4 )^2 + ( x + 5 ) ( x – 5 ) – 2x( x + 1 ) \)

Sau khi khai triển từng phần, ta có:

\( = ( x^2 + 8x + 16 ) + ( x^2 – 25 ) + ( -2x^2 – 2x ) \)

Bước 3: Bỏ dấu ngoặc và thu gọn các hạng tử đồng dạng.

Khi bỏ dấu ngoặc, nếu phía trước ngoặc là dấu cộng thì giữ nguyên dấu các hạng tử bên trong. Nếu phía trước ngoặc là dấu trừ thì đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.

\( = x^2 + 8x + 16 + x^2 – 25 – 2x^2 – 2x \)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng (có cùng biến và cùng số mũ) lại với nhau:

• Các hạng tử chứa \( x^2 \): \( x^2 + x^2 – 2x^2 \)
• Các hạng tử chứa \( x \): \( +8x – 2x \)
• Các hạng tử tự do (hằng số): \( +16 – 25 \)

Thực hiện phép tính cho từng nhóm:

• \( x^2 + x^2 – 2x^2 = (1 + 1 – 2)x^2 = 0x^2 = 0 \)
• \( +8x – 2x = (8 – 2)x = 6x \)
• \( +16 – 25 = -9 \)

Cuối cùng, cộng các kết quả lại:

\( = 0 + 6x – 9 \)

\( = 6x – 9 \)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là:

\( ( x + 4 )^2 + ( x + 5 ) ( x – 5 ) – 2x( x + 1 ) = 6x – 9 \)

Các em thấy đó, việc áp dụng đúng các hằng đẳng thức đáng nhớ và cẩn thận trong các phép tính là chìa khóa để giải quyết bài toán này một cách chính xác. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé!