Hôm nay, thầy/cô trò chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và làm quen với một bài toán rất quan trọng trong chương trình số học lớp 6, đó là tìm Ước (Ư), Ước chung (ƯC) và Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số.

Chúng ta sẽ bắt đầu với bài tập sau:
Tìm:
Ư (360)
Ư (450)
ƯC (360, 450)
ƯCLN (360, 450)

Trước khi tìm ƯC, chúng ta cần phân tích các số ra thừa số nguyên tố. Các em còn nhớ cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố không? Chúng ta sẽ sử dụng các phép chia liên tiếp cho các số nguyên tố nhỏ nhất.

Bước 1: Phân tích 360 ra thừa số nguyên tố

Ta có:

\(360 = 2 \times 180\)
\(180 = 2 \times 90\)
\(90 = 2 \times 45\)
\(45 = 3 \times 15\)
\(15 = 3 \times 5\)

Vậy, phân tích thừa số nguyên tố của 360 là:
\(360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)

Bước 2: Phân tích 450 ra thừa số nguyên tố

Ta có:

\(450 = 2 \times 225\)
\(225 = 3 \times 75\)
\(75 = 3 \times 25\)
\(25 = 5 \times 5\)

Vậy, phân tích thừa số nguyên tố của 450 là:
\(450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2\)

Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt tìm các yêu cầu của bài toán.

1. Tìm Ư (360)

Để tìm tập hợp các ước của 360, chúng ta sẽ dựa vào phân tích thừa số nguyên tố \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\). Các ước sẽ có dạng \(2^a \times 3^b \times 5^c\), với \(0 \le a \le 3\), \(0 \le b \le 2\), và \(0 \le c \le 1\).

Các ước của 360 là:

• Với \(c=0\):
• \(a=0, b=0\): \(2^0 \times 3^0 \times 5^0 = 1\)
• \(a=0, b=1\): \(2^0 \times 3^1 \times 5^0 = 3\)
• \(a=0, b=2\): \(2^0 \times 3^2 \times 5^0 = 9\)
• \(a=1, b=0\): \(2^1 \times 3^0 \times 5^0 = 2\)
• \(a=1, b=1\): \(2^1 \times 3^1 \times 5^0 = 6\)
• \(a=1, b=2\): \(2^1 \times 3^2 \times 5^0 = 18\)
• \(a=2, b=0\): \(2^2 \times 3^0 \times 5^0 = 4\)
• \(a=2, b=1\): \(2^2 \times 3^1 \times 5^0 = 12\)
• \(a=2, b=2\): \(2^2 \times 3^2 \times 5^0 = 36\)
• \(a=3, b=0\): \(2^3 \times 3^0 \times 5^0 = 8\)
• \(a=3, b=1\): \(2^3 \times 3^1 \times 5^0 = 24\)
• \(a=3, b=2\): \(2^3 \times 3^2 \times 5^0 = 72\)
• Với \(c=1\):
• \(a=0, b=0\): \(2^0 \times 3^0 \times 5^1 = 5\)
• \(a=0, b=1\): \(2^0 \times 3^1 \times 5^1 = 15\)
• \(a=0, b=2\): \(2^0 \times 3^2 \times 5^1 = 45\)
• \(a=1, b=0\): \(2^1 \times 3^0 \times 5^1 = 10\)
• \(a=1, b=1\): \(2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30\)
• \(a=1, b=2\): \(2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 90\)
• \(a=2, b=0\): \(2^2 \times 3^0 \times 5^1 = 20\)
• \(a=2, b=1\): \(2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60\)
• \(a=2, b=2\): \(2^2 \times 3^2 \times 5^1 = 180\)
• \(a=3, b=0\): \(2^3 \times 3^0 \times 5^1 = 40\)
• \(a=3, b=1\): \(2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 120\)
• \(a=3, b=2\): \(2^3 \times 3^2 \times 5^1 = 360\)

Vậy, Ư (360) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}

2. Tìm Ư (450)

Tương tự, chúng ta dựa vào phân tích thừa số nguyên tố \(450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2\). Các ước sẽ có dạng \(2^a \times 3^b \times 5^c\), với \(0 \le a \le 1\), \(0 \le b \le 2\), và \(0 \le c \le 2\).

Các ước của 450 là:

• Với \(a=0\):
• \(b=0, c=0\): \(2^0 \times 3^0 \times 5^0 = 1\)
• \(b=0, c=1\): \(2^0 \times 3^0 \times 5^1 = 5\)
• \(b=0, c=2\): \(2^0 \times 3^0 \times 5^2 = 25\)
• \(b=1, c=0\): \(2^0 \times 3^1 \times 5^0 = 3\)
• \(b=1, c=1\): \(2^0 \times 3^1 \times 5^1 = 15\)
• \(b=1, c=2\): \(2^0 \times 3^1 \times 5^2 = 75\)
• \(b=2, c=0\): \(2^0 \times 3^2 \times 5^0 = 9\)
• \(b=2, c=1\): \(2^0 \times 3^2 \times 5^1 = 45\)
• \(b=2, c=2\): \(2^0 \times 3^2 \times 5^2 = 225\)
• Với \(a=1\):
• \(b=0, c=0\): \(2^1 \times 3^0 \times 5^0 = 2\)
• \(b=0, c=1\): \(2^1 \times 3^0 \times 5^1 = 10\)
• \(b=0, c=2\): \(2^1 \times 3^0 \times 5^2 = 50\)
• \(b=1, c=0\): \(2^1 \times 3^1 \times 5^0 = 6\)
• \(b=1, c=1\): \(2^1 \times 3^1 \times 5^1 = 30\)
• \(b=1, c=2\): \(2^1 \times 3^1 \times 5^2 = 150\)
• \(b=2, c=0\): \(2^1 \times 3^2 \times 5^0 = 18\)
• \(b=2, c=1\): \(2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 90\)
• \(b=2, c=2\): \(2^1 \times 3^2 \times 5^2 = 450\)

Vậy, Ư (450) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450}

3. Tìm ƯC (360, 450)

Để tìm ƯC (360, 450), chúng ta sẽ dựa vào tập hợp các ước của 360 và 450 mà chúng ta vừa tìm được. ƯC chính là những số xuất hiện trong cả hai tập hợp.

Ta có:

Ư (360) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}

Ư (450) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 25, 30, 45, 50, 75, 90, 150, 225, 450}

Những số chung xuất hiện trong cả hai tập hợp là:

1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

Vậy, ƯC (360, 450) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

Cách tìm ƯC nhanh hơn dựa vào phân tích thừa số nguyên tố:

Chúng ta đã có phân tích thừa số nguyên tố:

\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)
\(450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2\)

Để tìm ƯC, ta lấy các thừa số nguyên tố chung, với số mũ nhỏ nhất của mỗi thừa số đó.

Thừa số nguyên tố chung là 2, 3, 5.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là \(min(3, 1) = 1\).
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là \(min(2, 2) = 2\).
• Số mũ nhỏ nhất của 5 là \(min(1, 2) = 1\).

Vậy, các ước chung sẽ có dạng \(2^a \times 3^b \times 5^c\), với \(0 \le a \le 1\), \(0 \le b \le 2\), và \(0 \le c \le 1\).

Khi liệt kê các ước chung dựa trên dạng này, chúng ta sẽ có:

1 (\(2^0 \times 3^0 \times 5^0\))

2 (\(2^1 \times 3^0 \times 5^0\))

3 (\(2^0 \times 3^1 \times 5^0\))

5 (\(2^0 \times 3^0 \times 5^1\))

6 (\(2^1 \times 3^1 \times 5^0\))

9 (\(2^0 \times 3^2 \times 5^0\))

10 (\(2^1 \times 3^0 \times 5^1\))

15 (\(2^0 \times 3^1 \times 5^1\))

18 (\(2^1 \times 3^2 \times 5^0\))

30 (\(2^1 \times 3^1 \times 5^1\))

45 (\(2^0 \times 3^2 \times 5^1\))

90 (\(2^1 \times 3^2 \times 5^1\))

Kết quả hoàn toàn khớp với cách làm thủ công!

4. Tìm ƯCLN (360, 450)

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của chúng.

Nhìn vào tập hợp ƯC (360, 450) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}, số lớn nhất là 90.

Vậy, ƯCLN (360, 450) = 90.

Cách tìm ƯCLN nhanh hơn dựa vào phân tích thừa số nguyên tố:

Chúng ta đã có phân tích thừa số nguyên tố:

\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1\)
\(450 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2\)

Để tìm ƯCLN, ta lấy các thừa số nguyên tố chung, với số mũ nhỏ nhất của mỗi thừa số đó.

Thừa số nguyên tố chung là 2, 3, 5.

• Số mũ nhỏ nhất của 2 là \(min(3, 1) = 1\).
• Số mũ nhỏ nhất của 3 là \(min(2, 2) = 2\).
• Số mũ nhỏ nhất của 5 là \(min(1, 2) = 1\).

Vậy, ƯCLN (360, 450) = \(2^1 \times 3^2 \times 5^1 = 2 \times 9 \times 5 = 90\).

Kết quả này cũng rất chính xác!

Qua bài tập này, các em đã nắm vững cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, cách tìm tập hợp các ước của một số, và đặc biệt là cách tìm Ước chung và Ước chung lớn nhất một cách nhanh chóng và chính xác dựa vào phân tích thừa số nguyên tố.

Các em hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để củng cố kiến thức nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô. Chúc các em học tốt!