Tìm số nguyên n để n + 1955 vaf n +2014 là scp pls,pls
Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về số chính phương.
Đề bài: Tìm số nguyên n để \(n + 1955\) và \(n + 2014\) là các số chính phương.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ gọi hai số chính phương đó là \(a^2\) và \(b^2\), với \(a\) và \(b\) là các số nguyên không âm.
Theo đề bài, ta có:
\(n + 1955 = a^2\) (1)
\(n + 2014 = b^2\) (2)
Bây giờ, chúng ta sẽ lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1). Điều này giúp chúng ta loại bỏ biến \(n\) và tìm mối liên hệ giữa \(a^2\) và \(b^2\).
\((n + 2014) – (n + 1955) = b^2 – a^2\)
\(n + 2014 – n – 1955 = b^2 – a^2\)
\(2014 – 1955 = b^2 – a^2\)
\(59 = b^2 – a^2\)
Chúng ta biết rằng \(b^2 – a^2\) là hiệu của hai bình phương, nó có thể phân tích thành:
\(b^2 – a^2 = (b – a)(b + a)\)
Vậy, ta có phương trình:
\((b – a)(b + a) = 59\)
Bây giờ, chúng ta cần xem xét các ước của số 59. Số 59 là một số nguyên tố, do đó nó chỉ có hai ước dương là 1 và 59.
Vì \(a\) và \(b\) là các số nguyên không âm, nên \(b + a \ge 0\). Vì \((b – a)(b + a) = 59 > 0\), nên \(b – a\) cũng phải dương.
Hơn nữa, vì \(b^2 = n + 2014\) và \(a^2 = n + 1955\), nên \(b^2 > a^2\), suy ra \(b > a\) (vì \(a, b\) không âm). Do đó, \(b – a > 0\).
Cũng vì \(b > a \ge 0\), nên \(b + a > b – a\).
Do đó, chúng ta có hai trường hợp sau:
Trường hợp 1:
\(b – a = 1\)
\(b + a = 59\)
Đây là một hệ phương trình tuyến tính. Chúng ta có thể cộng hai phương trình này lại với nhau:
\((b – a) + (b + a) = 1 + 59\)
\(2b = 60\)
\(b = 30\)
Sau khi tìm được \(b\), chúng ta thay vào một trong hai phương trình ban đầu để tìm \(a\). Thay \(b = 30\) vào \(b – a = 1\):
\(30 – a = 1\)
\(a = 30 – 1\)
\(a = 29\)
Vậy trong trường hợp này, ta có \(a = 29\) và \(b = 30\).
Trường hợp 2:
Vì 59 là số nguyên tố và ta đã xét trường hợp ước dương, chúng ta không có trường hợp thứ hai với các ước dương khác.
Bây giờ, chúng ta sử dụng các giá trị của \(a\) hoặc \(b\) để tìm \(n\). Chúng ta có thể dùng phương trình (1) hoặc (2).
Sử dụng phương trình (1): \(n + 1955 = a^2\)
Thay \(a = 29\) vào:
\(n + 1955 = 29^2\)
\(n + 1955 = 841\)
\(n = 841 – 1955\)
\(n = -1114\)
Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng phương trình (2): \(n + 2014 = b^2\)
Thay \(b = 30\) vào:
\(n + 2014 = 30^2\)
\(n + 2014 = 900\)
\(n = 900 – 2014\)
\(n = -1114\)
Kết quả là nhất quán.
Vậy, số nguyên \(n\) cần tìm là \(-1114\).
Kiểm tra lại:
Với \(n = -1114\), ta có:
\(n + 1955 = -1114 + 1955 = 841 = 29^2\) (là số chính phương)
\(n + 2014 = -1114 + 2014 = 900 = 30^2\) (là số chính phương)
Bài toán đã được giải quyết.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
vì n+1955 và n+2014 là scp nên n+1955=a^2,n+2014=b^2(a,b thuộc N*).
ta có:
b^2-a^2=n+2014-n-1955=59.
(b-a)(b+a)=59.*
nhận xét:
0<b-a<=b+a.
nên từ* ta có các TH sau:
th1:b-a=1;b+a=59
a=b+1.
=>thay a=b+1 và b+a=59 ,ta đc:
2a+1=59
a=29=>n+2014=a^2
n+1955=29^2=841.
n=-1114.
thử lại,để n+2014 và n=1955 là scp thì n=-1114.
Theo đề bài, giả sử \(n + 1955\) và \(n + 2014\) đều là các số chính phương.
Đặt:
\(\begin{cases}n+1955=a^{2}\quad (1)\\ n+2014=b^{2}\quad (2)\end{cases}\) (với \(a, b \in \mathbb{N}\))
Không mất tính tổng quát, giả sử \(b > a \ge 0\).
Lấy (2) trừ (1) theo vế, ta được:
\(b^2 – a^2 = (n + 2014) – (n + 1955)\)
⇒\((b – a)(b + a) = 59\)
Vì \(a, b \in \mathbb{N}\) và \(b > a\) nên \((b – a)\) và \((b + a)\) là các số nguyên dương.
Mặt khác, ta luôn có: \(b + a > b – a > 0\).
Ta có :
\(\begin{cases}b+a=59\\ b-a=1\end{cases}\)
Cộng hai phương trình trên theo vế, ta được:
\((b + a) + (b – a) = 59 + 1\)
⇒\(2b = 60\)
⇒\(b = 30\)
Thay \(b = 30\) vào phương trình \(b – a = 1\), ta được:
\(30 – a = 1 \Rightarrow a = 29\) (thỏa mãn điều kiện \(a, b \in \mathbb{N}\)).
Thay \(a = 29\) vào phương trình (1), ta được:
\(n + 1955 = 29^2\)
\(n + 1955 = 841\)
\(n = 841 – 1955\)
\(n = -1114\)
Vậy số nguyên n cần tìm là \(n = -1114\).
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment