Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế khá thú vị về việc sắp xếp chỗ ngồi trong hội trường nhé. Bài toán này sẽ giúp các em vận dụng kiến thức về giải hệ phương trình và phương trình bậc hai một cách hiệu quả.

Đề bài: Hội trường ở trường trung học cơ sở Ngọc Thụy có đúng 250 chiếc ghế được chia đều vào các dãy nhằm giảm cách xã hội trong đợt phòng chống dịch để mỗi giấy bớt đi 5 ghế và số ghế trong hội trường không đổi thì nhà trường phải kê thêm 25 dãy ghế như thế nữa hỏi ban đầu số ghế trong hội trường được chia thành bao nhiêu dãy.

Phân tích và thiết lập phương trình:

Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng chưa biết và thiết lập mối quan hệ giữa chúng.

Gọi số dãy ghế ban đầu trong hội trường là \(x\) (dãy).
Điều kiện: \(x\) phải là số nguyên dương và \(x\) là ước của 250 (vì số ghế được chia đều vào các dãy).

Vì tổng số ghế trong hội trường là 250 chiếc và các ghế được chia đều vào \(x\) dãy, nên số ghế ban đầu trong mỗi dãy là \(\frac{250}{x}\) (ghế).

Điều kiện kèm theo: Số ghế trong mỗi dãy ban đầu phải lớn hơn 5, tức là \(\frac{250}{x} > 5\), để sau đó có thể bớt đi 5 ghế.

Theo tình huống mới do dịch bệnh:

• Số ghế trong mỗi dãy bớt đi 5 ghế. Vậy số ghế trong mỗi dãy lúc sau là: \(\frac{250}{x} – 5\) (ghế).
• Nhà trường phải kê thêm 25 dãy ghế. Vậy số dãy ghế lúc sau là: \(x + 25\) (dãy).

Điều quan trọng là tổng số ghế trong hội trường không đổi, vẫn là 250 chiếc.

Do đó, ta có thể thiết lập phương trình dựa trên tổng số ghế lúc sau:

Số dãy ghế lúc sau \(\times\) Số ghế trong mỗi dãy lúc sau = Tổng số ghế

Hay:

\((x + 25)\left(\frac{250}{x} – 5\right) = 250\)

Giải phương trình:

Bây giờ chúng ta sẽ giải phương trình vừa thiết lập:

\((x + 25)\left(\frac{250}{x} – 5\right) = 250\)

Bước 1: Mở rộng biểu thức ở vế trái.

\(x \cdot \frac{250}{x} – x \cdot 5 + 25 \cdot \frac{250}{x} – 25 \cdot 5 = 250\)

\(250 – 5x + \frac{6250}{x} – 125 = 250\)

Bước 2: Gom các hạng tử và đơn giản hóa.

\(125 – 5x + \frac{6250}{x} = 250\)

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai.

\(-5x + \frac{6250}{x} – 125 = 0\)

Bước 4: Nhân cả hai vế của phương trình với \(x\) để khử mẫu (vì \(x\) là số dãy ghế nên \(x \neq 0\)).

\(-5x^2 + 6250 – 125x = 0\)

Bước 5: Sắp xếp lại phương trình theo thứ tự chuẩn của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\).

\(-5x^2 – 125x + 6250 = 0\)

Bước 6: Chia cả hai vế cho -5 để đơn giản hóa các hệ số.

\(x^2 + 25x – 1250 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải nó bằng công thức nghiệm \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).

Với \(a = 1\), \(b = 25\), \(c = -1250\).

Tính biệt thức \(\Delta\):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (25)^2 – 4(1)(-1250)\)

\(\Delta = 625 + 5000\)

\(\Delta = 5625\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-25 + \sqrt{5625}}{2 \cdot 1}\)

\(x_1 = \frac{-25 + 75}{2}\)

\(x_1 = \frac{50}{2}\)

\(x_1 = 25\)

\(x_2 = \frac{-25 – \sqrt{5625}}{2 \cdot 1}\)

\(x_2 = \frac{-25 – 75}{2}\)

\(x_2 = \frac{-100}{2}\)

\(x_2 = -50\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta đã đặt điều kiện ban đầu là \(x\) phải là số nguyên dương (số dãy ghế không thể là số âm).

• Nghiệm \(x_2 = -50\) không thỏa mãn điều kiện \(x > 0\), nên ta loại nghiệm này.
• Nghiệm \(x_1 = 25\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Ngoài ra, ta cần kiểm tra điều kiện \(\frac{250}{x} > 5\).

Với \(x = 25\), số ghế ban đầu trong mỗi dãy là \(\frac{250}{25} = 10\). Vì \(10 > 5\), điều kiện này được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, ban đầu số ghế trong hội trường được chia thành 25 dãy.

Các em có thể tự kiểm tra lại bằng cách thay \(x = 25\) vào đề bài để đảm bảo kết quả chính xác nhé:

Ban đầu: 25 dãy, mỗi dãy 10 ghế (25 x 10 = 250 ghế).
Sau khi thay đổi: Mỗi dãy bớt 5 ghế (còn 5 ghế/dãy). Thêm 25 dãy (tổng 25 + 25 = 50 dãy).
Tổng số ghế mới: 50 dãy x 5 ghế/dãy = 250 ghế. (Đúng với đề bài).

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này!