Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về việc xác định phương trình của một parabol. Đây là một dạng bài rất hay và quan trọng trong chương trình Toán lớp 10 của chúng ta.

Đề bài cho chúng ta parabol có dạng \(y = ax^2 + bx + 1\). Nhiệm vụ của chúng ta là tìm các hệ số \(a\) và \(b\). Chúng ta có hai thông tin quan trọng:

1. Parabol đi qua điểm A(-1; 6).

2. Parabol có tung độ đỉnh là –0,25.

Chúng ta sẽ lần lượt sử dụng từng thông tin này để lập hệ phương trình.

Bước 1: Sử dụng thông tin parabol đi qua điểm A(-1; 6)

Vì điểm A(-1; 6) thuộc parabol, nên khi chúng ta thay \(x = -1\) và \(y = 6\) vào phương trình của parabol, phương trình phải được thỏa mãn.

Thay vào phương trình \(y = ax^2 + bx + 1\), ta có:

\(6 = a(-1)^2 + b(-1) + 1\)
\(6 = a – b + 1\)
\(a – b = 6 – 1\)
\(a – b = 5\) (Phương trình 1)

Bước 2: Sử dụng thông tin tung độ đỉnh của parabol

Chúng ta biết rằng tung độ đỉnh của parabol \(y = ax^2 + bx + c\) được tính bằng công thức \(y_V = -\frac{\Delta}{4a}\) hoặc \(y_V = \frac{4ac – b^2}{4a}\). Trong trường hợp này, \(c = 1\).

Vậy, tung độ đỉnh của parabol \(y = ax^2 + bx + 1\) là \(y_V = \frac{4a(1) – b^2}{4a} = \frac{4a – b^2}{4a}\).
Theo đề bài, tung độ đỉnh là -0,25. Do đó, chúng ta có phương trình:

\(\frac{4a – b^2}{4a} = -0.25\)
\(\frac{4a – b^2}{4a} = -\frac{1}{4}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân chéo để loại bỏ mẫu số (lưu ý \(a \neq 0\) vì nếu \(a=0\) thì đây không phải là parabol):

\(4(4a – b^2) = -4a\)

Chia cả hai vế cho 4:

\(4a – b^2 = -a\)
\(-b^2 = -a – 4a\)
\(-b^2 = -5a\)
\(b^2 = 5a\) (Phương trình 2)

Bước 3: Giải hệ phương trình gồm Phương trình 1 và Phương trình 2

Chúng ta có hệ phương trình sau:

1) \(a – b = 5\)
2) \(b^2 = 5a\)

Từ Phương trình 1, chúng ta có thể biểu diễn \(a\) theo \(b\):

\(a = b + 5\)

Bây giờ, thay biểu thức của \(a\) vào Phương trình 2:

\(b^2 = 5(b + 5)\)
\(b^2 = 5b + 25\)
\(b^2 – 5b – 25 = 0\)

Chúng ta cần giải phương trình bậc hai này để tìm \(b\). Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A}\) với \(A=1, B=-5, C=-25\):

\(\Delta = (-5)^2 – 4(1)(-25) = 25 + 100 = 125\)
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}\)

Vậy, các nghiệm của \(b\) là:

\(b_1 = \frac{-(-5) + 5\sqrt{5}}{2(1)} = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}\)
\(b_2 = \frac{-(-5) – 5\sqrt{5}}{2(1)} = \frac{5 – 5\sqrt{5}}{2}\)

Với mỗi giá trị của \(b\), chúng ta sẽ tìm giá trị tương ứng của \(a\) từ \(a = b + 5\).

Trường hợp 1: Khi \(b = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}\)

\(a = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2} + 5 = \frac{5 + 5\sqrt{5} + 10}{2} = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}\)

Trong trường hợp này, \(a = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2} \neq 0\), nên đây là một nghiệm hợp lệ.

Trường hợp 2: Khi \(b = \frac{5 – 5\sqrt{5}}{2}\)

\(a = \frac{5 – 5\sqrt{5}}{2} + 5 = \frac{5 – 5\sqrt{5} + 10}{2} = \frac{15 – 5\sqrt{5}}{2}\)

Trong trường hợp này, \(a = \frac{15 – 5\sqrt{5}}{2} \neq 0\), nên đây cũng là một nghiệm hợp lệ.

Bước 4: Kết luận phương trình của parabol

Vậy, có hai parabol thỏa mãn các điều kiện đề bài:

Parabol 1: Với \(a = \frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}\) và \(b = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}\)

\(y = \left(\frac{15 + 5\sqrt{5}}{2}\right)x^2 + \left(\frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}\right)x + 1\)

Parabol 2: Với \(a = \frac{15 – 5\sqrt{5}}{2}\) và \(b = \frac{5 – 5\sqrt{5}}{2}\)

\(y = \left(\frac{15 – 5\sqrt{5}}{2}\right)x^2 + \left(\frac{5 – 5\sqrt{5}}{2}\right)x + 1\)

Lời kết:

Như vậy, qua bài tập này, các em đã ôn lại cách sử dụng các thông tin về điểm thuộc parabol và tọa độ đỉnh để xác định các hệ số của nó. Hãy luôn ghi nhớ các công thức cơ bản và cách giải hệ phương trình nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy (cô) nhé!