Bài toán: Hội trường ở trường trung học cơ sở Ngọc Thiện có đúng 250 chiếc ghế được chia đều vào các dãy nhằm giảm các xã hội trong đợt phòng chống dịch. Để mỗi dãy bớt đi 5 ghế mà số ghế trong hội trường không đổi thì nhà trường phải kê thêm 25 dãy ghế như thế nữa. Hỏi ban đầu số ghế trong hội trường được chia thành bao nhiêu dãy?

Phân tích bài toán:

Đầu tiên, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.

Đã biết:

• Tổng số ghế trong hội trường: 250 chiếc.
• Số ghế giảm đi ở mỗi dãy ở trường hợp thứ hai: 5 ghế.
• Số dãy ghế tăng thêm ở trường hợp thứ hai: 25 dãy.

Cần tìm:

• Số dãy ghế ban đầu.

Đặt ẩn và xây dựng phương trình:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đại số. Gọi:

• \(x\) là số dãy ghế ban đầu (điều kiện: \(x > 0\)).

Khi đó:

• Số ghế trên mỗi dãy ban đầu là: \(\frac{250}{x}\) (ghế/dãy).

Theo đề bài, ở trường hợp thứ hai, mỗi dãy bớt đi 5 ghế và phải kê thêm 25 dãy ghế, nhưng tổng số ghế vẫn là 250. Điều này có nghĩa là:

• Số dãy ghế lúc sau là: \(x + 25\) (dãy).
• Số ghế trên mỗi dãy lúc sau là: \(\frac{250}{x} – 5\) (ghế/dãy).

Vì tổng số ghế không đổi, ta có phương trình:

(Số dãy ghế lúc sau) x (Số ghế trên mỗi dãy lúc sau) = Tổng số ghế

\((x + 25) \times (\frac{250}{x} – 5) = 250\)

Giải phương trình:

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành giải phương trình vừa lập được:

\((x + 25) \times (\frac{250 – 5x}{x}) = 250\)

Nhân cả hai vế với \(x\) (do \(x > 0\), nên ta có thể làm điều này):

\((x + 25) \times (250 – 5x) = 250x\)

Khai triển vế trái:

\(250x – 5x^2 + 6250 – 125x = 250x\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\(-5x^2 + 250x – 125x + 6250 – 250x = 0\)

\(-5x^2 – 125x + 6250 = 0\)

Chia cả hai vế cho -5 để phương trình gọn gàng hơn:

\(x^2 + 25x – 1250 = 0\)

Bây giờ, chúng ta có phương trình bậc hai dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a=1\), \(b=25\), \(c=-1250\).

Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hoặc phân tích thành nhân tử.

Cách 1: Sử dụng công thức nghiệm

Tính biệt thức Delta \(\Delta = b^2 – 4ac\):

\(\Delta = 25^2 – 4 \times 1 \times (-1250)\)

\(\Delta = 625 + 5000\)

\(\Delta = 5625\)

Tính căn bậc hai của Delta: \(\sqrt{\Delta} = \sqrt{5625} = 75\)

Nghiệm của phương trình là:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 + 75}{2 \times 1} = \frac{50}{2} = 25\)

\(x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-25 – 75}{2 \times 1} = \frac{-100}{2} = -50\)

Cách 2: Phân tích thành nhân tử

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -1250 và tổng bằng 25. Hai số đó là 50 và -25.

\(x^2 + 50x – 25x – 1250 = 0\)

\(x(x + 50) – 25(x + 50) = 0\)

\((x – 25)(x + 50) = 0\)

Suy ra:

\(x – 25 = 0 \Rightarrow x = 25\)

\(x + 50 = 0 \Rightarrow x = -50\)

Kiểm tra điều kiện và kết luận:

Chúng ta đã đặt \(x\) là số dãy ghế ban đầu, và điều kiện là \(x > 0\). Vì vậy, nghiệm \(x = -50\) không thỏa mãn.

Chỉ có nghiệm \(x = 25\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy, ban đầu số ghế trong hội trường được chia thành 25 dãy.

Kiểm tra lại:

Ban đầu: 250 ghế chia thành 25 dãy, mỗi dãy có \(250 / 25 = 10\) ghế.

Lúc sau: Kê thêm 25 dãy, tổng cộng là \(25 + 25 = 50\) dãy.

Mỗi dãy bớt 5 ghế, vậy mỗi dãy có \(10 – 5 = 5\) ghế.

Tổng số ghế lúc sau: \(50 \text{ dãy} \times 5 \text{ ghế/dãy} = 250\) ghế. (Đúng với đề bài)

Các em thấy đấy, bằng cách phân tích cẩn thận và áp dụng các kiến thức toán học, chúng ta đã giải quyết được bài toán. Hãy luôn ghi nhớ cách đặt ẩn, xây dựng phương trình và kiểm tra kết quả của mình nhé!