Xin chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về lượng giác rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tính giá trị của \(sin \alpha\) khi biết giá trị của \(tan \alpha\) và một khoảng xác định cho góc \(\alpha\).

Bài toán: Cho góc \( \alpha \) thỏa mãn \( tan \alpha = -4/3 \) và \( (2017\pi)/2 < \alpha < (2019\pi)/2 \). Tính \( sin \alpha \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định góc phần tư của \( \alpha \).

Đầu tiên, chúng ta cần xác định xem góc \( \alpha \) nằm ở góc phần tư nào. Chúng ta có bất đẳng thức \( (2017\pi)/2 < \alpha < (2019\pi)/2 \).

Để dễ hình dung, chúng ta có thể chia các cận của bất đẳng thức cho \( \pi/2 \):

\( 2017 < (2\alpha)/\pi < 2019 \)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét các bội số của \( 2\pi \) và \( \pi/2 \) để xác định góc phần tư.

Chúng ta biết rằng \( 2\pi = 4(\pi/2) \).

Ta có thể viết lại \( 2017\pi/2 \) và \( 2019\pi/2 \) theo cách dễ nhận biết hơn.

Chia 2017 cho 4: \( 2017 = 4 \times 504 + 1 \).

Vậy, \( 2017\pi/2 = (4 \times 504 + 1)\pi/2 = 504 \times 2\pi + \pi/2 \).

Chia 2019 cho 4: \( 2019 = 4 \times 504 + 3 \).

Vậy, \( 2019\pi/2 = (4 \times 504 + 3)\pi/2 = 504 \times 2\pi + 3\pi/2 \).

Do đó, bất đẳng thức trở thành:

\( 504 \times 2\pi + \pi/2 < \alpha < 504 \times 2\pi + 3\pi/2 \).

Việc cộng thêm các bội số của \( 2\pi \) không làm thay đổi vị trí của góc \( \alpha \) trên đường tròn lượng giác. Vì vậy, chúng ta chỉ cần xem xét khoảng \( \pi/2 < \alpha < 3\pi/2 \).

Trong khoảng \( \pi/2 < \alpha < 3\pi/2 \):

– Nếu \( \pi/2 < \alpha < \pi \), \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ II. Trong trường hợp này, \( \sin \alpha > 0 \) và \( \cos \alpha < 0 \). Do đó, \( \tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha < 0 \).

– Nếu \( \pi < \alpha < 3\pi/2 \), \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ III. Trong trường hợp này, \( \sin \alpha < 0 \) và \( \cos \alpha < 0 \). Do đó, \( \tan \alpha = \sin \alpha / \cos \alpha > 0 \).

Đề bài cho \( tan \alpha = -4/3 \), là một giá trị âm.

So sánh với nhận xét trên, ta thấy \( \tan \alpha < 0 \) khi \( \pi/2 < \alpha < \pi \).

Vậy, góc \( \alpha \) nằm trong khoảng tương đương với góc phần tư thứ II.

Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa \( tan \alpha \) và \( sin \alpha \).

Chúng ta có công thức liên hệ sau:

\( 1 + tan^2 \alpha = \frac{1}{cos^2 \alpha} \)

Từ đó, ta có \( cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + tan^2 \alpha} \).

Thay giá trị \( tan \alpha = -4/3 \) vào:

\( cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (-4/3)^2} = \frac{1}{1 + 16/9} = \frac{1}{(9+16)/9} = \frac{1}{25/9} = \frac{9}{25} \).

Suy ra, \( cos \alpha = \pm \sqrt{9/25} = \pm 3/5 \).

Vì \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ II (tương đương), nên \( \cos \alpha < 0 \).

Do đó, \( cos \alpha = -3/5 \).

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức \( tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \) để tìm \( sin \alpha \).

Suy ra, \( sin \alpha = tan \alpha \times cos \alpha \).

Thay giá trị \( tan \alpha = -4/3 \) và \( cos \alpha = -3/5 \) vào:

\( sin \alpha = (-4/3) \times (-3/5) = 12/15 = 4/5 \).

Lưu ý: Chúng ta cũng có thể sử dụng công thức trực tiếp liên hệ giữa \( tan \alpha \) và \( sin \alpha \):

\( sin^2 \alpha = \frac{tan^2 \alpha}{1 + tan^2 \alpha} \)

\( sin^2 \alpha = \frac{(-4/3)^2}{1 + (-4/3)^2} = \frac{16/9}{1 + 16/9} = \frac{16/9}{25/9} = \frac{16}{25} \).

Suy ra, \( sin \alpha = \pm \sqrt{16/25} = \pm 4/5 \).

Vì \( \alpha \) nằm ở góc phần tư thứ II (tương đương), nên \( \sin \alpha > 0 \).

Do đó, \( sin \alpha = 4/5 \).

Bước 3: Kiểm tra lại.

Chúng ta đã xác định \( \alpha \) thuộc góc phần tư thứ II. Ở góc phần tư này, \( \sin \alpha > 0 \) và \( \cos \alpha < 0 \).

Ta có \( \sin \alpha = 4/5 \) và \( \cos \alpha = -3/5 \).

\( tan \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{4/5}{-3/5} = -4/3 \). Giá trị này trùng khớp với đề bài.

Kết luận:

Vậy, với \( tan \alpha = -4/3 \) và \( (2017\pi)/2 < \alpha < (2019\pi)/2 \), ta tính được \( sin \alpha = 4/5 \).

Các em thấy đó, việc xác định đúng góc phần tư là rất quan trọng để chọn dấu của các giá trị lượng giác. Cố gắng luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!