Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn biểu thức và tìm giá trị của biến số. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9.

Đề bài: Cho biểu thức:

\( A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \)

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P < 0 \), với \( P \) là biểu thức đã được rút gọn ở câu a).

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này một cách chi tiết nhé!

Lời giải:

a) Rút gọn biểu thức A.

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

Để biểu thức A có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

• Các biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \( x \ge 0 \).
• Các mẫu số phải khác 0:
  • \( \sqrt{x}+3 \ne 0 \). Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \), nên \( \sqrt{x}+3 \ge 3 \), do đó \( \sqrt{x}+3 \) luôn khác 0.
  • \( \sqrt{x}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 3 \Rightarrow x \ne 9 \).
  • \( x-9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9 \).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức A là \( x \ge 0 \) và \( x \ne 9 \).

Bước 2: Phân tích các mẫu số và tìm mẫu số chung.

Ta nhận thấy rằng \( x-9 = (\sqrt{x})^2 – 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) \).
Do đó, mẫu số chung nhỏ nhất của các phân thức là \( (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) \) hay \( x-9 \).

Bước 3: Quy đồng mẫu số các phân thức.

\( A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \)
\( A = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} – \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \)
\( A = \frac{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x} – 2\sqrt{x}\cdot3}{x-9} + \frac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x} + \sqrt{x}\cdot3}{x-9} – \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \)
\( A = \frac{2x – 6\sqrt{x}}{x-9} + \frac{x + 3\sqrt{x}}{x-9} – \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \)

Bước 4: Cộng trừ các tử số.

\( A = \frac{(2x – 6\sqrt{x}) + (x + 3\sqrt{x}) – 2\sqrt{x}}{x-9} \)
\( A = \frac{2x – 6\sqrt{x} + x + 3\sqrt{x} – 2\sqrt{x}}{x-9} \)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\( A = \frac{(2x + x) + (-6\sqrt{x} + 3\sqrt{x} – 2\sqrt{x})}{x-9} \)
\( A = \frac{3x – 5\sqrt{x}}{x-9} \)

Vậy, biểu thức A đã được rút gọn là: \( A = \frac{3x – 5\sqrt{x}}{x-9} \).

b) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để \( P < 0 \), với \( P \) là biểu thức đã được rút gọn ở câu a).

Theo đề bài, \( P \) là biểu thức đã được rút gọn ở câu a), nên \( P = \frac{3x – 5\sqrt{x}}{x-9} \).

Ta cần tìm các giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn \( P < 0 \).

Điều kiện xác định: \( x \ge 0 \) và \( x \ne 9 \).

Biểu thức \( P = \frac{3x – 5\sqrt{x}}{x-9} \). Để phân tích dễ hơn, ta có thể viết tử số dưới dạng tích:
\( 3x – 5\sqrt{x} = \sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5) \).
Vậy, \( P = \frac{\sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5)}{x-9} \).

Để \( P < 0 \), tử số và mẫu số phải trái dấu. Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Tử số \( > 0 \) và Mẫu số \( < 0 \).

1.1. Tử số \( \sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5) > 0 \).

• Vì \( x \ge 0 \), nên \( \sqrt{x} \ge 0 \).
• Nếu \( \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0 \), thì tử số bằng 0, khi đó \( P=0 \), không thỏa mãn \( P < 0 \). Vậy \( x \ne 0 \).
• Khi \( x > 0 \), thì \( \sqrt{x} > 0 \). Do đó, để \( \sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5) > 0 \), ta phải có \( 3\sqrt{x} – 5 > 0 \).
  
  \( 3\sqrt{x} > 5 \)
  \( \sqrt{x} > \frac{5}{3} \)
  Bình phương hai vế (vì cả hai vế đều dương):
  \( x > \left(\frac{5}{3}\right)^2 \)
  \( x > \frac{25}{9} \).

1.2. Mẫu số \( x-9 < 0 \).

• \( x < 9 \).

Kết hợp điều kiện của Trường hợp 1: \( x > \frac{25}{9} \) và \( x < 9 \).
Tức là \( \frac{25}{9} < x < 9 \).
Vì \( \frac{25}{9} \approx 2.77 \), nên ta có \( 2.77 < x < 9 \).
Các giá trị nguyên của \( x \) trong khoảng này là: \( 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).

Trường hợp 2: Tử số \( < 0 \) và Mẫu số \( > 0 \).

2.1. Tử số \( \sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5) < 0 \).

• Vì \( x > 0 \), nên \( \sqrt{x} > 0 \). Do đó, để \( \sqrt{x}(3\sqrt{x} – 5) < 0 \), ta phải có \( 3\sqrt{x} - 5 < 0 \).
  \( 3\sqrt{x} < 5 \)
  \( \sqrt{x} < \frac{5}{3} \)
  Bình phương hai vế:
  \( x < \left(\frac{5}{3}\right)^2 \)
  \( x < \frac{25}{9} \).

2.2. Mẫu số \( x-9 > 0 \).

• \( x > 9 \).

Kết hợp điều kiện của Trường hợp 2: \( x < \frac{25}{9} \) và \( x > 9 \).
Điều kiện này vô lý vì không có số nào nhỏ hơn \( \frac{25}{9} \) (khoảng 2.77) và đồng thời lớn hơn 9.
Vậy, Trường hợp 2 không có giá trị \( x \) nào thỏa mãn.

Kiểm tra lại các giá trị \( x \) tìm được với điều kiện xác định \( x \ge 0, x \ne 9 \):
Các giá trị \( 3, 4, 5, 6, 7, 8 \) đều thỏa mãn \( x \ge 0 \) và \( x \ne 9 \).

Kết luận:

Các giá trị nguyên của \( x \) để \( P < 0 \) là \( 3, 4, 5, 6, 7, 8 \).

Mong rằng bài giải này giúp các em hiểu rõ cách làm dạng bài tập này. Chú ý từng bước, đặc biệt là việc tìm điều kiện xác định và xét dấu của biểu thức nhé!