Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về căn thức. Đề bài yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \(x\) sao cho biểu thức \(A\) bằng \(1/3\).

Bài toán: Cho biểu thức \(A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{3x+9}{x-9}\). Tìm giá trị của \(x\) để \(A = \frac{1}{3}\).

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.

Để biểu thức A có nghĩa, ta cần các điều kiện sau:

1. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \(x \ge 0\).

2. Mẫu số của các phân thức phải khác 0:

\(\sqrt{x} + 3 \neq 0\)

\(\sqrt{x} – 3 \neq 0\)

\(x – 9 \neq 0\)

Ta phân tích các điều kiện này:

1. \(x \ge 0\) là điều kiện hiển nhiên.

2. \(\sqrt{x} + 3 \neq 0\): Vì \(\sqrt{x} \ge 0\) với mọi \(x \ge 0\), nên \(\sqrt{x} + 3 \ge 3\). Do đó, điều kiện này luôn đúng với mọi \(x \ge 0\).

3. \(\sqrt{x} – 3 \neq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \neq 3 \Rightarrow x \neq 9\).

4. \(x – 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9\). Lưu ý rằng \(x – 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)\).

Kết hợp tất cả các điều kiện, điều kiện xác định của biểu thức A là \(x \ge 0\) và \(x \neq 9\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức A.

Để rút gọn A, ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất là \(x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)\).

Ta có:

\(A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)} + \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} – \frac{3x+9}{x-9}\)

\(A = \frac{x – 3\sqrt{x}}{x-9} + \frac{2x + 6\sqrt{x}}{x-9} – \frac{3x+9}{x-9}\)

Bây giờ, ta cộng hoặc trừ các tử số lại với nhau trên cùng một mẫu số:

\(A = \frac{(x – 3\sqrt{x}) + (2x + 6\sqrt{x}) – (3x+9)}{x-9}\)

\(A = \frac{x – 3\sqrt{x} + 2x + 6\sqrt{x} – 3x – 9}{x-9}\)

Ta gom các hạng tử đồng dạng ở tử số:

\(A = \frac{(x + 2x – 3x) + (-3\sqrt{x} + 6\sqrt{x}) – 9}{x-9}\)

\(A = \frac{0x + 3\sqrt{x} – 9}{x-9}\)

\(A = \frac{3\sqrt{x} – 9}{x-9}\)

Ta có thể rút gọn thêm bằng cách phân tích tử số: \(3\sqrt{x} – 9 = 3(\sqrt{x} – 3)\) và mẫu số \(x – 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)\).

\(A = \frac{3(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}\)

Với điều kiện \(x \neq 9\) (tức là \(\sqrt{x} \neq 3\)), ta có thể rút gọn \(\sqrt{x}-3\):

\(A = \frac{3}{\sqrt{x}+3}\)

Bước 3: Giải phương trình \(A = \frac{1}{3}\).

Ta đã có biểu thức rút gọn của A là \(\frac{3}{\sqrt{x}+3}\). Bây giờ ta cho biểu thức này bằng \(1/3\):

\(\frac{3}{\sqrt{x}+3} = \frac{1}{3}\)

Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu. Để giải phương trình này, ta nhân chéo hai vế:

\(3 \times 3 = 1 \times (\sqrt{x}+3)\)

\(9 = \sqrt{x}+3\)

Chuyển số 3 sang vế trái:

\(9 – 3 = \sqrt{x}\)

\(6 = \sqrt{x}\)

Bình phương hai vế để tìm \(x\):

\(6^2 = (\sqrt{x})^2\)

\(36 = x\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.

Ta tìm được \(x=36\). Bây giờ ta kiểm tra xem giá trị này có thỏa mãn điều kiện xác định của biểu thức A hay không:

Điều kiện là \(x \ge 0\) và \(x \neq 9\).

Với \(x=36\), ta có \(36 \ge 0\) (đúng) và \(36 \neq 9\) (đúng).

Vậy, \(x=36\) là giá trị thỏa mãn.

Kết luận:

Giá trị của \(x\) để \(A = \frac{1}{3}\) là \(x=36\).