Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất hay về dãy tỉ số bằng nhau kết hợp với điều kiện về tổng các bình phương. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 7 và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Đề bài: Tìm các số x, y, z biết:

\(\dfrac{x}{-2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\)
và
\(x^2 + y^2 + z^2 = 2500\)

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt dãy tỉ số bằng một hằng số k.

Từ giả thiết, ta có dãy tỉ số bằng nhau:
\(\dfrac{x}{-2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4}\)

Để tiện cho việc tính toán, chúng ta sẽ đặt dãy tỉ số này bằng một hằng số \(k\) (k là một số thực bất kỳ):
\(\dfrac{x}{-2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z}{4} = k\)

Bước 2: Biểu diễn x, y, z theo k.

Từ đẳng thức trên, ta có thể suy ra giá trị của x, y, z theo k như sau:
\(\dfrac{x}{-2} = k \implies x = -2k\)
\(\dfrac{y}{3} = k \implies y = 3k\)
\(\dfrac{z}{4} = k \implies z = 4k\)

Bước 3: Thay x, y, z theo k vào phương trình thứ hai.

Theo đề bài, chúng ta có phương trình thứ hai là:
\(x^2 + y^2 + z^2 = 2500\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các biểu thức của x, y, z mà chúng ta vừa tìm được ở Bước 2 vào phương trình này:

\((-2k)^2 + (3k)^2 + (4k)^2 = 2500\)

Bước 4: Rút gọn và giải phương trình để tìm k.

Chúng ta sẽ tính toán các bình phương và cộng chúng lại:

\((-2k)^2 = (-2)^2 \times k^2 = 4k^2\)
\((3k)^2 = 3^2 \times k^2 = 9k^2\)
\((4k)^2 = 4^2 \times k^2 = 16k^2\)

Vậy, phương trình trở thành:
\(4k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 2500\)

Cộng các hệ số của \(k^2\) lại:
\((4 + 9 + 16)k^2 = 2500\)
\(29k^2 = 2500\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm \(k^2\):
\(k^2 = \dfrac{2500}{29}\)

Để tìm \(k\), chúng ta lấy căn bậc hai hai vế. Lưu ý rằng căn bậc hai có thể có giá trị dương hoặc âm:
\(k = \pm\sqrt{\dfrac{2500}{29}}\)
\(\sqrt{2500}\) thì bằng \(50\), vậy ta có:
\(k = \pm\dfrac{50}{\sqrt{29}}\)

Bước 5: Tìm x, y, z với mỗi giá trị của k.

Chúng ta có hai trường hợp cho giá trị của \(k\):

Trường hợp 1: Khi \(k = \dfrac{50}{\sqrt{29}}\)

\(x = -2k = -2 \times \dfrac{50}{\sqrt{29}} = \dfrac{-100}{\sqrt{29}}\)
\(y = 3k = 3 \times \dfrac{50}{\sqrt{29}} = \dfrac{150}{\sqrt{29}}\)
\(z = 4k = 4 \times \dfrac{50}{\sqrt{29}} = \dfrac{200}{\sqrt{29}}\)

Trường hợp 2: Khi \(k = -\dfrac{50}{\sqrt{29}}\)

\(x = -2k = -2 \times (-\dfrac{50}{\sqrt{29}}) = \dfrac{100}{\sqrt{29}}\)
\(y = 3k = 3 \times (-\dfrac{50}{\sqrt{29}}) = \dfrac{-150}{\sqrt{29}}\)
\(z = 4k = 4 \times (-\dfrac{50}{\sqrt{29}}) = \dfrac{-200}{\sqrt{29}}\)

Kết luận:

Vậy, có hai bộ giá trị (x, y, z) thỏa mãn đề bài là:

1. \((x; y; z) = \left(\dfrac{-100}{\sqrt{29}}; \dfrac{150}{\sqrt{29}}; \dfrac{200}{\sqrt{29}}\right)\)

2. \((x; y; z) = \left(\dfrac{100}{\sqrt{29}}; \dfrac{-150}{\sqrt{29}}; \dfrac{-200}{\sqrt{29}}\right)\)

Các em nhớ rằng đôi khi kết quả có thể không phải là số nguyên mà là các phân số chứa căn thức nhé. Điều quan trọng là chúng ta hiểu rõ từng bước làm bài. Chúc các em học tốt!