bài 1 :
A = { 5t +2 | t ∈ N } ; E = {15k + 2 | k ∈ N* } ; B + {5x -3 | x ∈ N* }…
A = { 5t +2 | t ∈ N } ; E = {15k + 2 | k ∈ N* } ; B + {5x -3 | x ∈ N* }
Chứng minh: 1. A = B
2.E ⊂ A
Bài toán cho chúng ta ba tập hợp:
A = { \( 5t + 2 \) | \( t \in \mathbb{N} \) }
E = { \( 15k + 2 \) | \( k \in \mathbb{N}^* \) }
B = { \( 5x – 3 \) | \( x \in \mathbb{N}^* \) }
Trong đó, \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số tự nhiên (bao gồm cả 0), và \( \mathbb{N}^* \) là tập hợp các số tự nhiên khác 0.
Chúng ta cần chứng minh hai điều:
1. A = B
2. E ⊂ A
—
Phần 1: Chứng minh A = B
Để chứng minh hai tập hợp bằng nhau, chúng ta cần chứng minh hai chiều:
- Chiều thứ nhất: \( A \subseteq B \) (mọi phần tử của A đều thuộc B)
- Chiều thứ hai: \( B \subseteq A \) (mọi phần tử của B đều thuộc A)
Chứng minh \( A \subseteq B \):
Lấy một phần tử bất kỳ \( a \) thuộc tập hợp A. Theo định nghĩa của tập hợp A, ta có:
\( a = 5t + 2 \), với \( t \in \mathbb{N} \).
Ta cần chứng minh rằng \( a \) cũng thuộc tập hợp B, tức là \( a \) có dạng \( 5x – 3 \) với \( x \in \mathbb{N}^* \).
Chúng ta có: \( a = 5t + 2 \). Để có dạng \( 5x – 3 \), ta cần biến đổi biểu thức này.
Xét biểu thức \( 5x – 3 \). Nếu ta muốn nó bằng \( 5t + 2 \), ta có phương trình:
\( 5x – 3 = 5t + 2 \)
\( 5x = 5t + 5 \)
\( x = t + 1 \)
Vì \( t \in \mathbb{N} \), tức là \( t \ge 0 \). Do đó, \( x = t + 1 \ge 0 + 1 = 1 \).
Vì \( x \) là số tự nhiên và \( x \ge 1 \), nên \( x \in \mathbb{N}^* \).
Vậy, với mỗi phần tử \( a = 5t + 2 \in A \), ta luôn tìm được \( x = t + 1 \in \mathbb{N}^* \) sao cho \( a = 5x – 3 \).
Điều này chứng tỏ \( A \subseteq B \).
Chứng minh \( B \subseteq A \):
Lấy một phần tử bất kỳ \( b \) thuộc tập hợp B. Theo định nghĩa của tập hợp B, ta có:
\( b = 5x – 3 \), với \( x \in \mathbb{N}^* \).
Ta cần chứng minh rằng \( b \) cũng thuộc tập hợp A, tức là \( b \) có dạng \( 5t + 2 \) với \( t \in \mathbb{N} \).
Chúng ta có: \( b = 5x – 3 \). Để có dạng \( 5t + 2 \), ta cần biến đổi biểu thức này.
Xét biểu thức \( 5t + 2 \). Nếu ta muốn nó bằng \( 5x – 3 \), ta có phương trình:
\( 5t + 2 = 5x – 3 \)
\( 5t = 5x – 5 \)
\( t = x – 1 \)
Vì \( x \in \mathbb{N}^* \), tức là \( x \ge 1 \). Do đó, \( t = x – 1 \ge 1 – 1 = 0 \).
Vì \( t \) là số tự nhiên và \( t \ge 0 \), nên \( t \in \mathbb{N} \).
Vậy, với mỗi phần tử \( b = 5x – 3 \in B \), ta luôn tìm được \( t = x – 1 \in \mathbb{N} \) sao cho \( b = 5t + 2 \).
Điều này chứng tỏ \( B \subseteq A \).
Kết luận: Vì \( A \subseteq B \) và \( B \subseteq A \), nên ta có A = B.
—
Phần 2: Chứng minh E ⊂ A
Để chứng minh \( E \subseteq A \), ta cần chứng minh rằng mọi phần tử của E đều thuộc A.
Lấy một phần tử bất kỳ \( e \) thuộc tập hợp E. Theo định nghĩa của tập hợp E, ta có:
\( e = 15k + 2 \), với \( k \in \mathbb{N}^* \).
Ta cần chứng minh rằng \( e \) cũng thuộc tập hợp A, tức là \( e \) có dạng \( 5t + 2 \) với \( t \in \mathbb{N} \).
Chúng ta có: \( e = 15k + 2 \).
Ta có thể viết lại \( 15k \) như sau: \( 15k = 5 \times (3k) \).
Vậy, \( e = 5 \times (3k) + 2 \).
Để \( e \) có dạng \( 5t + 2 \), ta chỉ cần đặt \( t = 3k \).
Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra xem \( t = 3k \) có thuộc tập hợp \( \mathbb{N} \) hay không.
Vì \( k \in \mathbb{N}^* \), nên \( k \ge 1 \).
Do đó, \( t = 3k \ge 3 \times 1 = 3 \).
Vì \( t \) là số tự nhiên và \( t \ge 3 \), nên chắc chắn \( t \in \mathbb{N} \).
Vậy, với mỗi phần tử \( e = 15k + 2 \in E \), ta luôn tìm được \( t = 3k \in \mathbb{N} \) sao cho \( e = 5t + 2 \).
Điều này chứng tỏ \( E \subseteq A \).
—
Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh hai yêu cầu của bài toán. Các em có câu hỏi nào không?
1.
Lấy bất kì phần tử \(a in A\)
\(=> a=5t+2= 5(t+1)-3\) (với \(t in NN\))
Đặt \(x=t+1 in NN^ast\) (vì \(t in NN\))
\(=> a=5x-3 in B\)
\(=> A sub B\) \((1)\)
Lấy bất kì phần tử \(b in B\)
\(=> b=5x-3= 5(x-1)+2\) (với \(x in NN^ast\))
Đặt \(t=x-1 in NN\) (vì \(x in NN^ast\))
\(=> b=5t+2 in A\)
\(=> B sub A\) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)=>A=B\)
(ĐPCM)
2.
Lấy bất kì phần tử \(e in E\)
\(=> e=15k+2= 5*3k+2\) (với \(k in NN^ast\))
Đặt \(t=3k>= 3\) (vì \(k >=1\))
\(=> t in NN\)
\(=> e=5t+2 in A\)
\(=> E sub A\)
(ĐPCM)
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
\(1.\)
Do \(t in NN\) nên \(t in {0;1;2;3;4;….}\)
Với \(t=0\) thì \(5t+2=2\)
Với \(t=1\) thì \(5t+2=7\)
Với \(t=2\) thì \(5t+2=12\)
Và cứ tiếp tực như vậy…
\(->A in {2;7;12;….}\)
Tương tự, do \(x in NN^{**}\) nên \(x in {1;2;3;4;….}\)
Với \(x=1\) thì \(5x-3=2\)
Với \(x=2\) thì \(5x-3=7\)
Với \(x=3\) thì \(5x-3=12\)
Cứ tiếp tục như thế ta thu được \(B in {2;7;12;….}\)
Từ đó dễ dàng thấy được \(A=B.\)
\(2.\)
Ta có \(15k+2=3.5k+2\) với \(k in NN**\)
Lại có \(t in NN\) nên ta đặt \(t=3k(k>=1)\)
Khi đó \(15k+2=5t+2 (t in NN)\)
Vì thế \(15k+2\) có dạng \(5t+2\) nên nó là phần tử của tập hợp \(A\)
Vậy \(E subset A.\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment