Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thực tế rất thú vị về hình chữ nhật. Các em hãy tập trung lắng nghe và ghi chép lại nhé!

Bài 24: Chu vi một miếng đất hình chữ nhật bằng 80m. Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m². Tính kích thước miếng đất.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi chiều dài ban đầu của miếng đất là \(a\) (mét) và chiều rộng ban đầu là \(b\) (mét).

Theo đề bài, kích thước của miếng đất phải là số dương, nên ta có điều kiện: \(a > 0\) và \(b > 0\).

Bước 2: Thiết lập phương trình dựa trên thông tin bài toán

Dựa vào thông tin “Chu vi một miếng đất hình chữ nhật bằng 80m”:

Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức: \(P = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng})\).

Ta có phương trình thứ nhất:

\(2(a + b) = 80\)

Chia cả hai vế cho 2, ta được:

\(a + b = 40\) (1)

Dựa vào thông tin “Nếu giảm chiều rộng 3m và tăng chiều dài 8m thì diện tích tăng thêm 32m²“:

Chiều rộng mới của miếng đất là: \(b – 3\) (mét).

Chiều dài mới của miếng đất là: \(a + 8\) (mét).

Diện tích ban đầu của miếng đất là: \(S = a \times b\) (m²).

Diện tích mới của miếng đất là: \(S’ = (a + 8) \times (b – 3)\) (m²).

Theo đề bài, diện tích mới tăng thêm 32m² so với diện tích ban đầu, tức là:

\(S’ = S + 32\)

Thay các biểu thức diện tích vào, ta có:

\((a + 8)(b – 3) = ab + 32\)

Bước 3: Khai triển và rút gọn phương trình

Khai triển vế trái của phương trình diện tích:

\(ab – 3a + 8b – 24 = ab + 32\)

Trừ \(ab\) ở cả hai vế, ta được:

\(-3a + 8b – 24 = 32\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(-3a + 8b = 32 + 24\)
\(-3a + 8b = 56\) (2)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Chúng ta có một hệ hai phương trình với hai ẩn:

1) \(a + b = 40\)

2) \(-3a + 8b = 56\)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(a\) theo \(b\) (hoặc ngược lại):

\(a = 40 – b\)

Thế biểu thức của \(a\) vào phương trình (2):

\(-3(40 – b) + 8b = 56\)

Khai triển:

\(-120 + 3b + 8b = 56\)

Kết hợp các số hạng chứa \(b\):

\(11b – 120 = 56\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(11b = 56 + 120\)
\(11b = 176\)

Tìm \(b\):

\(b = \frac{176}{11}\)
\(b = 16\)

Bây giờ, ta tìm \(a\) bằng cách thế giá trị của \(b\) vào phương trình \(a = 40 – b\):

\(a = 40 – 16\)
\(a = 24\)

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta tìm được \(a = 24\) (mét) và \(b = 16\) (mét).

Kiểm tra điều kiện ban đầu: \(a > 0\) và \(b > 0\). \(24 > 0\) và \(16 > 0\), điều kiện được thỏa mãn.

Kiểm tra lại với đề bài:

Chu vi ban đầu: \(2(24 + 16) = 2(40) = 80\)m (Đúng).

Chiều rộng mới: \(16 – 3 = 13\)m.

Chiều dài mới: \(24 + 8 = 32\)m.

Diện tích ban đầu: \(24 \times 16 = 384\)m².

Diện tích mới: \(32 \times 13 = 416\)m².

Diện tích tăng thêm: \(416 – 384 = 32\)m² (Đúng).

Kết luận:

Vậy, kích thước của miếng đất hình chữ nhật là chiều dài 24 mét và chiều rộng 16 mét.

Các em thấy đó, với việc phân tích đề bài cẩn thận và áp dụng đúng các công thức, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này. Hãy luôn ghi nhớ các bước làm và luyện tập thêm nhiều bài tập khác nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!