Chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số khá thú vị nhé. Đây là dạng bài thường gặp, đòi hỏi chúng ta phải biết cách đặt ẩn và lập hệ phương trình. Nào, chúng ta cùng bắt đầu!

Bài 25: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4 và tổng các bình phương của các chữ số đó là 80.

Bài giải:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn

Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline{ab}\), trong đó:

• Gọi \(a\) là chữ số hàng chục.
• Gọi \(b\) là chữ số hàng đơn vị.

Vì đây là chữ số của một số tự nhiên có hai chữ số, nên chúng ta có các điều kiện sau:

• \(a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) (chữ số hàng chục phải khác 0).
• \(b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\).
• \(a\) và \(b\) là các số tự nhiên.

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin đã cho trong đề bài, chúng ta sẽ lập các phương trình:

1. “chữ số hàng chục kém chữ số hàng đơn vị là 4”:
Điều này có nghĩa là chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4, hoặc chữ số hàng chục bằng chữ số hàng đơn vị trừ đi 4.

\(b – a = 4 \Rightarrow a = b – 4 \quad (1)\)

2. “tổng các bình phương của các chữ số đó là 80”:
Tổng bình phương của chữ số hàng chục (\(a\)) và chữ số hàng đơn vị (\(b\)) là 80.

\(a^2 + b^2 = 80 \quad (2)\)

Từ đây, chúng ta có một hệ phương trình:

\(\begin{cases} a = b – 4 \\ a^2 + b^2 = 80 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.

Thay biểu thức của \(a\) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\((b – 4)^2 + b^2 = 80\)

Triển khai hằng đẳng thức \((b – 4)^2\):

\(b^2 – 2 \cdot b \cdot 4 + 4^2 + b^2 = 80\)
\(b^2 – 8b + 16 + b^2 = 80\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\(2b^2 – 8b + 16 = 80\)

Chuyển 80 sang vế trái và rút gọn để được phương trình bậc hai:

\(2b^2 – 8b + 16 – 80 = 0\)
\(2b^2 – 8b – 64 = 0\)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản phương trình:

\(b^2 – 4b – 32 = 0\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc hai này. Các em có thể dùng công thức nghiệm Delta hoặc tách hạng tử.

Cách 1: Dùng công thức nghiệm Delta

Với phương trình dạng \(Ax^2 + Bx + C = 0\), ta có \(A = 1\), \(B = -4\), \(C = -32\).
\(\Delta = B^2 – 4AC = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-32)\)
\(\Delta = 16 + 128 = 144\)
Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(b_1 = \frac{-B + \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-(-4) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8\)

\(b_2 = \frac{-B – \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-(-4) – \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{4 – 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

Cách 2: Tách hạng tử

\(b^2 – 4b – 32 = 0\)
Tìm hai số có tích bằng -32 và tổng bằng -4. Đó là -8 và 4.

\(b^2 – 8b + 4b – 32 = 0\)
\(b(b – 8) + 4(b – 8) = 0\)
\((b – 8)(b + 4) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

\(b – 8 = 0 \Rightarrow b = 8\)
\(b + 4 = 0 \Rightarrow b = -4\)

Kiểm tra điều kiện của \(b\):

• Với \(b = 8\): Thỏa mãn điều kiện \(b \in \{0, 1, …, 9\}\).
• Với \(b = -4\): Không thỏa mãn điều kiện vì \(b\) phải là chữ số và là số tự nhiên. Vậy giá trị này bị loại.

Vậy, ta tìm được \(b = 8\).

Bây giờ, thay \(b = 8\) vào phương trình (1) để tìm \(a\):

\(a = b – 4\)
\(a = 8 – 4\)
\(a = 4\)

Kiểm tra điều kiện của \(a\):

Với \(a = 4\): Thỏa mãn điều kiện \(a \in \{1, 2, …, 9\}\).

Bước 4: Kết luận

Chúng ta tìm được \(a = 4\) và \(b = 8\).
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là \(\overline{ab} = 48\).

Kiểm tra lại đáp án:

• Số 48 có hai chữ số.
• Chữ số hàng chục (4) kém chữ số hàng đơn vị (8) là \(8 – 4 = 4\). (Đúng)
• Tổng các bình phương của các chữ số là \(4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\). (Đúng)

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn.

Vậy số cần tìm là 48.

Các em thấy không, việc phân tích kỹ đề bài, đặt ẩn đúng và lập hệ phương trình chính xác sẽ giúp chúng ta giải quyết bài toán một cách dễ dàng. Chúc các em học tốt!