Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán xác suất rất thú vị liên quan đến việc chọn bi. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải phân tích kỹ các trường hợp và vận dụng kiến thức về tổ hợp, xác suất một cách linh hoạt. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Bạn Nam có một hộp bi gồm 2 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu trắng. Bạn Định cũng có một hộp bí giống như của bạn Nam. Từ hộp của mình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau.

—

PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tổng số bi trong hộp và số bi mỗi bạn chọn.
2. Tính toán số cách chọn bi của một bạn theo từng trường hợp số bi đỏ được chọn.
3. Tính xác suất cho mỗi trường hợp số bi đỏ được chọn của một bạn.
4. Xác định các trường hợp thỏa mãn đồng thời hai điều kiện của đề bài:
   • “luôn có bi màu đỏ” (tức là số bi đỏ được chọn phải lớn hơn 0).
   • “số bi đỏ của hai bạn bằng nhau”.
5. Tính xác suất cuối cùng bằng cách cộng xác suất của các trường hợp thỏa mãn.

—

GIẢI CHI TIẾT

Bước 1: Phân tích về hộp bi và cách chọn bi của mỗi bạn.

Mỗi bạn (Nam hoặc Định) có một hộp bi chứa:

• 2 viên bi màu đỏ (Đ)
• 4 viên bi màu trắng (T)
• Tổng cộng: \(2 + 4 = 6\) viên bi.

Mỗi bạn chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp của mình.

Bước 2: Tính số cách chọn 3 viên bi của một bạn.

Tổng số cách chọn 3 viên bi từ 6 viên bi là số tổ hợp chập 3 của 6, ký hiệu là \(C(6, 3)\).

\(C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\) cách.

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét các trường hợp về số bi đỏ có thể chọn được trong 3 viên bi:

1. Trường hợp 1: Chọn được 0 bi đỏ và 3 bi trắng.
   • Số cách chọn 0 bi đỏ từ 2 bi đỏ là \(C(2, 0) = 1\).
   • Số cách chọn 3 bi trắng từ 4 bi trắng là \(C(4, 3) = 4\).
   • Số cách để chọn được 0 bi đỏ và 3 bi trắng là \(C(2, 0) \times C(4, 3) = 1 \times 4 = 4\) cách.
2. Trường hợp 2: Chọn được 1 bi đỏ và 2 bi trắng.
   • Số cách chọn 1 bi đỏ từ 2 bi đỏ là \(C(2, 1) = 2\).
   • Số cách chọn 2 bi trắng từ 4 bi trắng là \(C(4, 2) = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\).
   • Số cách để chọn được 1 bi đỏ và 2 bi trắng là \(C(2, 1) \times C(4, 2) = 2 \times 6 = 12\) cách.
3. Trường hợp 3: Chọn được 2 bi đỏ và 1 bi trắng.
   • Số cách chọn 2 bi đỏ từ 2 bi đỏ là \(C(2, 2) = 1\).
   • Số cách chọn 1 bi trắng từ 4 bi trắng là \(C(4, 1) = 4\).
   • Số cách để chọn được 2 bi đỏ và 1 bi trắng là \(C(2, 2) \times C(4, 1) = 1 \times 4 = 4\) cách.
4. Trường hợp 4: Chọn được 3 bi đỏ và 0 bi trắng.
   • Không thể xảy ra vì chỉ có 2 bi đỏ trong hộp. (Số cách chọn \(C(2, 3) = 0\)).

Tổng số cách chọn các trường hợp là \(4 + 12 + 4 = 20\), đúng bằng tổng số cách chọn \(C(6, 3)\). Vậy các tính toán trên là chính xác.

Bước 3: Tính xác suất cho từng trường hợp số bi đỏ của một bạn.

Gọi \(P(0Đ)\) là xác suất chọn được 0 bi đỏ.

\(P(0Đ) = \frac{\text{Số cách chọn 0 bi đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\).

Gọi \(P(1Đ)\) là xác suất chọn được 1 bi đỏ.

\(P(1Đ) = \frac{\text{Số cách chọn 1 bi đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\).

Gọi \(P(2Đ)\) là xác suất chọn được 2 bi đỏ.

\(P(2Đ) = \frac{\text{Số cách chọn 2 bi đỏ}}{\text{Tổng số cách chọn}} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}\).

Kiểm tra: \(P(0Đ) + P(1Đ) + P(2Đ) = \frac{1}{5} + \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1\).

Bước 4: Xác định các trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đề bài có hai điều kiện:

1. “luôn có bi màu đỏ”: Điều này có nghĩa là mỗi bạn phải chọn ít nhất 1 bi đỏ. Tức là loại bỏ trường hợp chọn 0 bi đỏ.
2. “số bi đỏ của hai bạn bằng nhau”: Số bi đỏ mà Nam chọn phải bằng số bi đỏ mà Định chọn.

Kết hợp hai điều kiện này, chúng ta có các trường hợp sau:

• Trường hợp A: Nam chọn 1 bi đỏ, Định chọn 1 bi đỏ. (Thỏa mãn cả hai điều kiện)
• Trường hợp B: Nam chọn 2 bi đỏ, Định chọn 2 bi đỏ. (Thỏa mãn cả hai điều kiện)

Hai trường hợp này độc lập với nhau.

Bước 5: Tính xác suất cuối cùng.

Vì việc chọn bi của Nam và Định là độc lập, xác suất của các trường hợp kết hợp sẽ là tích các xác suất riêng lẻ.

1. Xác suất cho Trường hợp A (Nam chọn 1Đ, Định chọn 1Đ):
   \(P(\text{Nam 1Đ và Định 1Đ}) = P(\text{Nam 1Đ}) \times P(\text{Định 1Đ})\)
   \( = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\).
2. Xác suất cho Trường hợp B (Nam chọn 2Đ, Định chọn 2Đ):
   \(P(\text{Nam 2Đ và Định 2Đ}) = P(\text{Nam 2Đ}) \times P(\text{Định 2Đ})\)
   \( = \frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}\).

Xác suất để cả hai điều kiện của đề bài đều được thỏa mãn là tổng xác suất của Trường hợp A và Trường hợp B:

\(P(\text{thỏa mãn}) = P(\text{Nam 1Đ và Định 1Đ}) + P(\text{Nam 2Đ và Định 2Đ})\)

\(P(\text{thỏa mãn}) = \frac{9}{25} + \frac{1}{25} = \frac{10}{25}\).

Rút gọn phân số, ta được:

\(P(\text{thỏa mãn}) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}\).

—

KẾT LUẬN

Vậy, xác suất để trong các viên bi được chọn luôn có bi màu đỏ và số bi đỏ của hai bạn bằng nhau là \(\frac{2}{5}\).

Các em nhớ nhé, khi gặp bài toán xác suất có nhiều điều kiện, hãy chia nhỏ bài toán thành từng bước, phân tích từng điều kiện một cách cẩn thận để tránh nhầm lẫn. Chúc các em học tốt!