Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán xác suất rất thú vị. Đây là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 10 và đòi hỏi sự cẩn thận trong việc phân tích các trường hợp.

Đề bài: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn bi. Xác suất để 4 bi lấy được có đủ ba màu bằng bao nhiêu?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Xác định tổng số cách lấy 4 bi bất kỳ (Không gian mẫu)

Tổng số bi trong hộp là: \(4 \text{ (xanh)} + 5 \text{ (đỏ)} + 6 \text{ (vàng)} = 15 \text{ (bi)}\).

Chúng ta cần lấy ngẫu nhiên đồng thời 4 bi từ 15 bi này. Vì việc lấy bi là đồng thời (không phân biệt thứ tự), nên số cách lấy sẽ là tổ hợp.

Số cách lấy 4 bi bất kỳ từ 15 bi là: \(C_{15}^4\).

Tính toán: \(C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

\(C_{15}^4 = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{24} = 15 \times 7 \times 13 = 1365\)

Vậy, tổng số cách lấy 4 bi là \(N(\Omega) = 1365\).

Bước 2: Xác định số cách lấy 4 bi có đủ cả ba màu (Biến cố thuận lợi)

Để 4 bi lấy được có đủ ba màu (xanh, đỏ, vàng), có nghĩa là trong 4 bi đó phải có ít nhất 1 bi xanh, ít nhất 1 bi đỏ và ít nhất 1 bi vàng.

Vì tổng số bi lấy ra là 4, và chúng ta cần có đủ 3 màu, nên các trường hợp phân bố số bi cho từng màu chỉ có thể là:

Trường hợp 1: 1 bi xanh, 1 bi đỏ, 2 bi vàng

• Số cách chọn 1 bi xanh từ 4 bi xanh: \(C_4^1 = 4\)
• Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \(C_5^1 = 5\)
• Số cách chọn 2 bi vàng từ 6 bi vàng: \(C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)

Số cách chọn cho trường hợp này là: \(4 \times 5 \times 15 = 300\) cách.

Trường hợp 2: 1 bi xanh, 2 bi đỏ, 1 bi vàng

• Số cách chọn 1 bi xanh từ 4 bi xanh: \(C_4^1 = 4\)
• Số cách chọn 2 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \(C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
• Số cách chọn 1 bi vàng từ 6 bi vàng: \(C_6^1 = 6\)

Số cách chọn cho trường hợp này là: \(4 \times 10 \times 6 = 240\) cách.

Trường hợp 3: 2 bi xanh, 1 bi đỏ, 1 bi vàng

• Số cách chọn 2 bi xanh từ 4 bi xanh: \(C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
• Số cách chọn 1 bi đỏ từ 5 bi đỏ: \(C_5^1 = 5\)
• Số cách chọn 1 bi vàng từ 6 bi vàng: \(C_6^1 = 6\)

Số cách chọn cho trường hợp này là: \(6 \times 5 \times 6 = 180\) cách.

Tổng số cách lấy 4 bi có đủ ba màu là tổng số cách của 3 trường hợp trên:

\(N(A) = 300 + 240 + 180 = 720\) cách.

Bước 3: Tính xác suất

Xác suất để 4 bi lấy được có đủ ba màu là: \(P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}\)

\(P(A) = \frac{720}{1365}\)

Để đơn giản hóa phân số này, chúng ta có thể chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng.

Đầu tiên, chia cho 5: \( \frac{720 \div 5}{1365 \div 5} = \frac{144}{273} \)

Tiếp theo, ta thấy \(1+4+4 = 9\) (chia hết cho 3) và \(2+7+3 = 12\) (chia hết cho 3). Vậy cả tử và mẫu đều chia hết cho 3.

\( \frac{144 \div 3}{273 \div 3} = \frac{48}{91} \)

Kiểm tra thêm, 91 là \(7 \times 13\). 48 không chia hết cho 7 và cũng không chia hết cho 13. Vậy đây là phân số tối giản.

Kết luận:

Xác suất để 4 bi lấy được có đủ ba màu là \(\frac{48}{91}\).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành bài toán. Các em hãy nhớ kỹ các bước làm bài toán xác suất dạng này nhé: xác định không gian mẫu, xác định biến cố thuận lợi bằng cách chia trường hợp (nếu cần), và cuối cùng là tính xác suất.

Chúc các em học tốt!