Bài toán: Một hộp chứa 16 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 16. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ lấy ra là số chia hết cho 4. (Làm tròn đến hàng phần mười).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính tổng số kết quả có thể xảy ra.

Chúng ta lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ từ 16 tấm thẻ. Số cách chọn 2 thẻ từ 16 thẻ mà không quan tâm đến thứ tự được tính bằng tổ hợp chập 2 của 16, ký hiệu là \( \binom{16}{2} \).

Công thức tính tổ hợp là \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Vậy, tổng số kết quả có thể xảy ra là:

\( |\Omega| = \binom{16}{2} = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120 \) cách.

Đây là không gian mẫu của bài toán.

Bước 2: Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Gọi A là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ lấy ra là số chia hết cho 4”.

Để tích hai số \( a \) và \( b \) chia hết cho 4, chúng ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có một thẻ là bội của 4.

Các số là bội của 4 trong tập từ 1 đến 16 là: 4, 8, 12, 16. Có 4 số.

Nếu ta chọn một thẻ là bội của 4 (có 4 cách chọn), thì thẻ còn lại có thể là bất kỳ số nào trong 15 thẻ còn lại. Tuy nhiên, ta cần cẩn thận để tránh đếm trùng.

Cách tiếp cận đơn giản hơn là xem xét các cặp số mà tích của chúng chia hết cho 4.

Trường hợp 2: Không có thẻ nào là bội của 4, nhưng tích của chúng chia hết cho 4.

Điều này xảy ra khi cả hai thẻ đều là số chẵn nhưng không phải là bội của 4. Các số chẵn không phải là bội của 4 trong tập từ 1 đến 16 là: 2, 6, 10, 14. Có 4 số.

Tích của hai số chẵn không phải là bội của 4 sẽ là một số chia hết cho 4. Ví dụ: \( 2 \times 6 = 12 \), \( 2 \times 10 = 20 \), \( 6 \times 14 = 84 \), tất cả đều chia hết cho 4.

Bây giờ, chúng ta sẽ phân loại các số từ 1 đến 16 theo tính chất chia hết cho 4 và tính chẵn lẻ:

• Bội của 4: {4, 8, 12, 16} (4 số). Gọi là nhóm B4.
• Số chẵn không phải bội của 4: {2, 6, 10, 14} (4 số). Gọi là nhóm C2.
• Số lẻ: {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} (8 số). Gọi là nhóm L.

Chúng ta cần xét các cặp thẻ \( (a, b) \) sao cho \( a \times b \) chia hết cho 4.

Trường hợp 1: Một thẻ thuộc nhóm B4, thẻ còn lại thuộc nhóm bất kỳ.

– Một thẻ từ B4, thẻ còn lại từ B4: \( \binom{4}{2} \) cách. Tích chắc chắn chia hết cho 4. \( \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \) cặp.

– Một thẻ từ B4, một thẻ từ C2: \( \binom{4}{1} \times \binom{4}{1} \) cách. Tích chia hết cho 4. \( 4 \times 4 = 16 \) cặp.

– Một thẻ từ B4, một thẻ từ L: \( \binom{4}{1} \times \binom{8}{1} \) cách. Tích chia hết cho 4. \( 4 \times 8 = 32 \) cặp.

Tổng cộng trong trường hợp có ít nhất một thẻ là bội của 4 là: \( 6 + 16 + 32 = 54 \) cặp.

Trường hợp 2: Không có thẻ nào thuộc nhóm B4, nhưng tích vẫn chia hết cho 4.

Điều này chỉ xảy ra khi cả hai thẻ đều thuộc nhóm C2 (số chẵn không phải bội của 4).

– Hai thẻ từ C2: \( \binom{4}{2} \) cách. Tích của hai số này chắc chắn chia hết cho 4.

\( \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \) cặp.

Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố A:

Số kết quả thuận lợi là tổng của các trường hợp trên:

\( |A| = (\text{một thẻ B4, thẻ còn lại bất kỳ}) + (\text{hai thẻ C2}) \)

Tuy nhiên, cách phân chia trên đã bao hàm cả các trường hợp.

Hãy nhìn lại các tổ hợp để đảm bảo không trùng lặp:

• Cặp có ít nhất một số là bội của 4:
• Cả hai thẻ đều là bội của 4: \( \binom{4}{2} = 6 \)
• Một thẻ là bội của 4, một thẻ không phải bội của 4: \( \binom{4}{1} \times \binom{16-4}{1} = 4 \times 12 = 48 \)

Tổng số cặp có ít nhất một bội của 4 = \( 6 + 48 = 54 \). (Cách này cũng chưa hoàn toàn tối ưu)

Cách tiếp cận hiệu quả hơn:

Xét tất cả các cặp \( (a, b) \) sao cho \( a \times b \) chia hết cho 4.

1. Có ít nhất một số là bội của 4:

– Chọn 1 thẻ là bội của 4 (có 4 cách), chọn 1 thẻ bất kỳ trong 15 thẻ còn lại. Số cách là \( 4 \times 15 = 60 \). Tuy nhiên, trường hợp cả hai thẻ đều là bội của 4 bị đếm 2 lần.

– Số cặp có ít nhất một thẻ là bội của 4 = (Tổng số cặp có thẻ đầu là bội của 4) + (Tổng số cặp có thẻ thứ hai là bội của 4) – (Số cặp cả hai thẻ là bội của 4)

– Cách khác: Tổng số cặp – Số cặp không có bội của 4 nào.

Các số không phải là bội của 4 là: {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15} (12 số).

Số cặp không có bội của 4 nào là \( \binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \).

Số cặp có ít nhất một bội của 4 là \( 120 – 66 = 54 \).

2. Không có số nào là bội của 4, nhưng tích chia hết cho 4.

Điều này xảy ra khi cả hai số đều là số chẵn không phải bội của 4 (nhóm C2). Các số này là {2, 6, 10, 14}.

Số cặp chọn 2 số từ nhóm C2 là \( \binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6 \).

Tích của hai số này luôn chia hết cho 4.

Vậy, tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố A là:

Số cặp có ít nhất một bội của 4 + Số cặp hai số đều thuộc C2

\( |A| = 54 + 6 = 60 \) cặp.

Kiểm tra lại bằng cách khác:

Các cặp số \( (a, b) \) có tích \( a \times b \) chia hết cho 4:

• Cả hai số đều là bội của 4: \( \binom{4}{2} = 6 \)
• Một số là bội của 4, một số là số lẻ: \( \binom{4}{1} \times \binom{8}{1} = 4 \times 8 = 32 \)
• Một số là bội của 4, một số là số chẵn không phải bội của 4: \( \binom{4}{1} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16 \)
• Hai số đều là số chẵn không phải bội của 4: \( \binom{4}{2} = 6 \)

Tổng các trường hợp này: \( 6 + 32 + 16 + 6 = 60 \). Như vậy, số kết quả thuận lợi là 60.

Bước 3: Tính xác suất.

Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:

\( P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{|A|}{|\Omega|} \)

\( P(A) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} = 0.5 \)

Bước 4: Làm tròn kết quả.

Kết quả \( 0.5 \) đã là một số có một chữ số thập phân, nên không cần làm tròn thêm.

Kết luận:

Xác suất để tích hai số ghi trên hai thẻ lấy ra là số chia hết cho 4 là \( \frac{1}{2} \) hay \( 0.5 \).

Các em thấy đấy, để giải bài toán xác suất, chúng ta cần phân tích cẩn thận các trường hợp có thể xảy ra và các trường hợp thuận lợi cho biến cố. Việc phân loại các số theo tính chất chia hết giúp chúng ta xử lý bài toán một cách có hệ thống hơn.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!