Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải một bài toán xác suất rất thú vị và đòi hỏi sự tư duy logic chặt chẽ. Đây là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 6, 5 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 5, 4 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 4. Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ hộp đó. Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau.

Chúng ta cùng phân tích bài toán nhé:

1. Xác định không gian mẫu (\(N(\Omega)\)):

Tổng số bóng trong hộp là: \(6 \text{ (Đỏ)} + 5 \text{ (Vàng)} + 4 \text{ (Xanh)} = 15\) quả bóng.

Chúng ta lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng từ 15 quả. Vì thứ tự lấy không quan trọng, đây là một bài toán tổ hợp.

Số cách lấy 4 quả bóng từ 15 quả là: \(C_{15}^4\)

\(C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15 \times 7 \times 13 = 1365\)

Vậy, không gian mẫu của chúng ta là \(N(\Omega) = 1365\).

2. Xác định số trường hợp thuận lợi cho biến cố A ( \(N(A)\) ):

Biến cố A là “4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu và không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau”.

Điều kiện 1: “4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu”

Vì chúng ta lấy 4 quả bóng mà có đủ 3 màu (Đỏ, Vàng, Xanh), điều này có nghĩa là sẽ có 1 màu xuất hiện 2 lần, và 2 màu còn lại xuất hiện 1 lần. Có 3 trường hợp về phân bố màu sắc:

1. 2 bóng Đỏ, 1 bóng Vàng, 1 bóng Xanh.
2. 1 bóng Đỏ, 2 bóng Vàng, 1 bóng Xanh.
3. 1 bóng Đỏ, 1 bóng Vàng, 2 bóng Xanh.

Điều kiện 2: “Không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau”

Điều này có nghĩa là 4 quả bóng được chọn phải có 4 số thứ tự khác nhau. Ví dụ, nếu đã chọn bóng Đỏ số 1, thì không được chọn bóng Vàng số 1 hay bóng Xanh số 1 nữa.

Để đảm bảo điều kiện này, chúng ta sẽ chọn các quả bóng một cách tuần tự, bắt đầu từ màu có ít số nhất để tránh trùng lặp hiệu quả hơn.

Chúng ta hãy xét từng trường hợp phân bố màu:

Trường hợp 1: 2 bóng Đỏ, 1 bóng Vàng, 1 bóng Xanh (2Đ, 1V, 1X)

Các số có thể có của bóng:

• Đỏ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 số)
• Vàng: {1, 2, 3, 4, 5} (5 số)
• Xanh: {1, 2, 3, 4} (4 số)

1. Chọn 1 bóng Xanh: Có \(C_4^1 = 4\) cách chọn (số từ 1 đến 4).

Ví dụ: Chọn bóng Xanh số 1. Vậy số 1 không được chọn cho các bóng khác.

2. Chọn 1 bóng Vàng: Số của bóng Vàng phải khác số của bóng Xanh đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Vàng là {1, 2, 3, 4, 5}. Do đã chọn 1 số cho bóng Xanh (thuộc {1,2,3,4}), nên còn \(5 – 1 = 4\) số có thể chọn cho bóng Vàng.

   Số cách chọn: \(C_{(5-1)}^1 = C_4^1 = 4\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Vàng có thể là số 2, 3, 4, 5. Chọn bóng Vàng số 2. Vậy số 1 và 2 không được chọn cho các bóng khác.

3. Chọn 2 bóng Đỏ: Hai số của bóng Đỏ phải khác hai số của bóng Xanh và bóng Vàng đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Đỏ là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Do đã chọn 2 số cho bóng Xanh và Vàng, nên còn \(6 – 2 = 4\) số có thể chọn cho 2 bóng Đỏ.

   Số cách chọn: \(C_{(6-2)}^2 = C_4^2 = \frac{4 \times 3}{2} = 6\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Vàng số 2, Đỏ có thể chọn 2 số bất kỳ từ {3, 4, 5, 6}. Chọn bóng Đỏ số 3 và Đỏ số 4.

Tổng số cách cho Trường hợp 1 là: \(4 \times 4 \times 6 = 96\) cách.

Trường hợp 2: 1 bóng Đỏ, 2 bóng Vàng, 1 bóng Xanh (1Đ, 2V, 1X)

Các số có thể có của bóng:

• Đỏ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 số)
• Vàng: {1, 2, 3, 4, 5} (5 số)
• Xanh: {1, 2, 3, 4} (4 số)

1. Chọn 1 bóng Xanh: Có \(C_4^1 = 4\) cách chọn (số từ 1 đến 4).

Ví dụ: Chọn bóng Xanh số 1. Số 1 đã được chọn.

2. Chọn 2 bóng Vàng: Hai số của bóng Vàng phải khác số của bóng Xanh đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Vàng là {1, 2, 3, 4, 5}. Do đã chọn 1 số cho bóng Xanh, nên còn \(5 – 1 = 4\) số có thể chọn cho 2 bóng Vàng.

   Số cách chọn: \(C_{(5-1)}^2 = C_4^2 = 6\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Vàng có thể chọn 2 số bất kỳ từ {2, 3, 4, 5}. Chọn bóng Vàng số 2 và số 3. Vậy số 1, 2, 3 không được chọn cho bóng Đỏ.

3. Chọn 1 bóng Đỏ: Số của bóng Đỏ phải khác ba số của bóng Xanh và hai bóng Vàng đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Đỏ là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Do đã chọn 3 số cho bóng Xanh và Vàng, nên còn \(6 – 3 = 3\) số có thể chọn cho bóng Đỏ.

   Số cách chọn: \(C_{(6-3)}^1 = C_3^1 = 3\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Vàng số 2, Vàng số 3, Đỏ có thể chọn 1 số bất kỳ từ {4, 5, 6}. Chọn bóng Đỏ số 4.

Tổng số cách cho Trường hợp 2 là: \(4 \times 6 \times 3 = 72\) cách.

Trường hợp 3: 1 bóng Đỏ, 1 bóng Vàng, 2 bóng Xanh (1Đ, 1V, 2X)

Các số có thể có của bóng:

• Đỏ: {1, 2, 3, 4, 5, 6} (6 số)
• Vàng: {1, 2, 3, 4, 5} (5 số)
• Xanh: {1, 2, 3, 4} (4 số)

1. Chọn 2 bóng Xanh: Có \(C_4^2 = 6\) cách chọn (hai số bất kỳ từ 1 đến 4).

Ví dụ: Chọn bóng Xanh số 1 và số 2. Vậy số 1 và 2 không được chọn cho các bóng khác.

2. Chọn 1 bóng Vàng: Số của bóng Vàng phải khác hai số của hai bóng Xanh đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Vàng là {1, 2, 3, 4, 5}. Do đã chọn 2 số cho hai bóng Xanh, nên còn \(5 – 2 = 3\) số có thể chọn cho bóng Vàng.

   Số cách chọn: \(C_{(5-2)}^1 = C_3^1 = 3\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Xanh số 2, Vàng có thể là số 3, 4, 5. Chọn bóng Vàng số 3. Vậy số 1, 2, 3 không được chọn cho bóng Đỏ.

3. Chọn 1 bóng Đỏ: Số của bóng Đỏ phải khác ba số của hai bóng Xanh và bóng Vàng đã chọn.

   Các số có thể chọn cho bóng Đỏ là {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Do đã chọn 3 số cho hai bóng Xanh và bóng Vàng, nên còn \(6 – 3 = 3\) số có thể chọn cho bóng Đỏ.

   Số cách chọn: \(C_{(6-3)}^1 = C_3^1 = 3\) cách.

   Ví dụ: Nếu Xanh số 1, Xanh số 2, Vàng số 3, Đỏ có thể chọn 1 số bất kỳ từ {4, 5, 6}. Chọn bóng Đỏ số 4.

Tổng số cách cho Trường hợp 3 là: \(6 \times 3 \times 3 = 54\) cách.

Tổng số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là:

\(N(A) = 96 \text{ (Trường hợp 1)} + 72 \text{ (Trường hợp 2)} + 54 \text{ (Trường hợp 3)} = 222\) cách.

3. Tính xác suất của biến cố A:

Xác suất \(P(A)\) được tính bằng công thức: \(P(A) = \frac{N(A)}{N(\Omega)}\)

\(P(A) = \frac{222}{1365}\)

Giờ chúng ta sẽ rút gọn phân số này:

Cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 3:

\(222 \div 3 = 74\)

\(1365 \div 3 = 455\)

Vậy, \(P(A) = \frac{74}{455}\)

Phân số này không thể rút gọn thêm nữa vì \(74 = 2 \times 37\) và \(455 = 5 \times 7 \times 13\).

Kết luận:

Vậy, xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau là \(\frac{74}{455}\).

Các em thấy không, bài toán này đòi hỏi chúng ta phải rất cẩn thận trong việc liệt kê các trường hợp và đảm bảo các điều kiện được thỏa mãn. Hi vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải quyết các bài toán xác suất phức tạp hơn một chút nhé!