Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rút gọn và tìm giá trị nguyên của biến, một dạng bài rất hay gặp trong các kỳ thi cuối cấp. Chúng ta hãy cùng phân tích và giải bài toán này một cách chi tiết nhé!

Đề bài: Cho các biểu thức:

\( A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \)

\( B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{x+9\sqrt{x}}{x-9} \)

Tìm giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M = A : B\) có giá trị nguyên.

—

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức.

Để các biểu thức \(A\) và \(B\) có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:

• Căn bậc hai của \(x\) (\(\sqrt{x}\)) có nghĩa, suy ra \(x \ge 0\).
• Mẫu số của \(A\) phải khác 0: \( \sqrt{x}-2 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 2 \Rightarrow x \ne 4 \).
• Mẫu số của \(B\) (số hạng thứ nhất) phải khác 0: \( \sqrt{x}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 3 \Rightarrow x \ne 9 \).
• Mẫu số của \(B\) (số hạng thứ hai) phải khác 0: \( x-9 \ne 0 \Rightarrow x \ne 9 \).

Khi thực hiện phép chia \(M = A : B\), chúng ta còn cần thêm điều kiện \(B \ne 0\). Chúng ta sẽ kiểm tra điều kiện này sau khi rút gọn \(B\).

Vậy, điều kiện xác định chung cho biểu thức \(M\) là: \( \mathbf{x \ge 0, x \ne 4, x \ne 9} \).

Bước 2: Rút gọn biểu thức B.

Ta có: \( B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} – \frac{x+9\sqrt{x}}{x-9} \)

Nhận xét rằng \( x-9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3) \). Đây chính là mẫu số chung của hai phân thức.

Quy đồng mẫu số:

\( B = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} – \frac{x+9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \)

\( B = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3) – (x+9\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \)

Thực hiện phép nhân và trừ trên tử số:

\( B = \frac{2x + 6\sqrt{x} – x – 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \)

\( B = \frac{x – 3\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \)

Phân tích tử số thành nhân tử: \( x – 3\sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-3) \)

Vậy:

\( B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} \)

Với điều kiện \( x \ne 9 \) (tức \( \sqrt{x}-3 \ne 0 \)), ta có thể rút gọn \( \sqrt{x}-3 \) ở cả tử và mẫu:

\( \mathbf{B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}} \)

Kiểm tra điều kiện \(B \ne 0\): \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 0 \Rightarrow x \ne 0 \).
Vậy, điều kiện xác định cuối cùng là: \( \mathbf{x > 0, x \ne 4, x \ne 9} \).

Bước 3: Rút gọn biểu thức M = A : B.

Ta có \( M = A : B = \frac{A}{B} = A \cdot \frac{1}{B} \)

\( M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}} \)

Với điều kiện \( x > 0 \) (tức \( \sqrt{x} \ne 0 \)), ta có thể rút gọn \( \sqrt{x} \) ở cả tử và mẫu:

\( \mathbf{M = \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}} \)

Bước 4: Tìm giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.

Để \(M\) có giá trị nguyên, biểu thức \( \frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2} \) phải là một số nguyên.

Chúng ta có thể viết lại biểu thức \(M\) bằng cách tách phần nguyên:

\( M = \frac{\sqrt{x}-2+5}{\sqrt{x}-2} \)

\( M = \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2} + \frac{5}{\sqrt{x}-2} \)

\( M = 1 + \frac{5}{\sqrt{x}-2} \)

Để \(M\) là số nguyên thì \( \frac{5}{\sqrt{x}-2} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( (\sqrt{x}-2) \) phải là một ước của 5.

Các ước của 5 là: \( \{1; -1; 5; -5\} \).

Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: \( \sqrt{x}-2 = 1 \)

\( \sqrt{x} = 1+2 = 3 \)

\( x = 3^2 = 9 \)

Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=9\) không thỏa mãn điều kiện \( x \ne 9 \). Do đó, \(x=9\) bị loại.

Trường hợp 2: \( \sqrt{x}-2 = -1 \)

\( \sqrt{x} = -1+2 = 1 \)

\( x = 1^2 = 1 \)

Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=1\) thỏa mãn \( x > 0, x \ne 4, x \ne 9 \). Đây là một giá trị nguyên hợp lệ.

Với \(x=1\), \( M = 1 + \frac{5}{1-2} = 1 + \frac{5}{-1} = 1 – 5 = -4 \). (\(M\) là số nguyên)

Trường hợp 3: \( \sqrt{x}-2 = 5 \)

\( \sqrt{x} = 5+2 = 7 \)

\( x = 7^2 = 49 \)

Kiểm tra điều kiện xác định: \(x=49\) thỏa mãn \( x > 0, x \ne 4, x \ne 9 \). Đây là một giá trị nguyên hợp lệ.

Với \(x=49\), \( M = 1 + \frac{5}{7-2} = 1 + \frac{5}{5} = 1 + 1 = 2 \). (\(M\) là số nguyên)

Trường hợp 4: \( \sqrt{x}-2 = -5 \)

\( \sqrt{x} = -5+2 = -3 \)

Vì \( \sqrt{x} \ge 0 \) với mọi \(x \ge 0\), nên \( \sqrt{x} = -3 \) là điều vô lý. Trường hợp này không có giá trị \(x\) nào thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M\) có giá trị nguyên là \( \mathbf{x = 1} \) và \( \mathbf{x = 49} \).

—

Các em nhớ khi giải các bài toán dạng này, việc đầu tiên và quan trọng nhất là tìm điều kiện xác định của biểu thức. Sau đó là rút gọn biểu thức một cách cẩn thận và cuối cùng là sử dụng phương pháp phù hợp (thường là tìm ước số của một số nguyên) để tìm giá trị nguyên của biến. Chúc các em học tốt!